Й

Привет! Давай решим эту задачу вместе.

Нам нужно найти наименьшее целое решение уравнения: \(2^{x} - 3 \cdot 2^{\frac{x}{2}} = \frac{13}{4}\)

Сначала давай сделаем замену переменной: Пусть \(y = 2^{\frac{x}{2}}\). Тогда \(2^x = (2^{\frac{x}{2}})^2 = y^2\).

Теперь наше уравнение примет вид: \(y^2 - 3y = \frac{13}{4}\)

Приведем все к общему знаменателю: \(4y^2 - 12y = 13\) \(4y^2 - 12y - 13 = 0\)

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта: \(D = b^2 - 4ac = (-12)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-13) = 144 + 208 = 352\)

Найдём корни уравнения: \(y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{12 \pm \sqrt{352}}{8}\) \( \sqrt{352} = 4 \sqrt{22}\) \( y_1 = \frac{12 + 4 \sqrt{22}}{8} = \frac{3 + \sqrt{22}}{2} \\ y_2 = \frac{12 - 4 \sqrt{22}}{8} = \frac{3 - \sqrt{22}}{2} ) Корень \(y_2 = \frac{3 - \sqrt{22}}{2}\) не имеет смысла, так как \(y = 2^{\frac{x}{2}}\) и должно быть положительно. Теперь решим уравнение \(y = 2^{\frac{x}{2}}\), где \(y = \frac{3 + \sqrt{22}}{2}\).

Логарифмируем обе части уравнения: \( \frac{x}{2} = \log_2 y = \log_2 \frac{3 + \sqrt{22}}{2} \)

\( x = 2 \cdot\log_2 \frac{3 + \sqrt{22}}{2} \)

Поскольку логарифм не упрощается до целого числа, нам следует взять ближайшее целое значение корнее.

Ответ наименьшего целого решения: \( x = 2\).