1

Привет! Давай разберёмся с этой задачей.

Нам нужно найти наименьшее целое решение уравнения \(2^x - 3 \cdot 2^{-x} = \frac{13}{4}\).

Давай обозначим \(y = 2^x\). Тогда уравнение можно переписать так: \[ y - \frac{3}{y} = \frac{13}{4} \]

Перемножим всё на 4y, чтобы убрать знаменатели: \[ 4y^2 - 12 = 13y \]

Приведём всё к квадратному уравнению: \[ 4y^2 - 13y - 12 = 0 \]

Теперь решим квадратное уравнение. Найдём дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = (-13)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-12) = 169 + 192 = 361 \]

Дискриминант положительный, найдём корни: \[ y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{13 \pm \sqrt{361}}{8} = \frac{13 \pm 19}{8} \]

Получаем два корня: \[ y_1 = \frac{32}{8} = 4 \] \[ y_2 = \frac{-6}{8} = -0.75 \]

Так как \( y = 2^x \) и \( 2^x \) должно быть положительным, то \( y_2 \) нам не подходит. Остаётся \( y = 4 \).

Теперь найдём \( x \): \[ 2^x = 4 \] \[ x = 2 \]

Таким образом, наименьшее целое решение уравнения - это \( x = 2 \).