й
Привет! Давай вместе разберём это уравнение.
Уравнение выглядит так: \[ \log_{\sqrt{5}} \left(\frac{2x - 3}{x - 2}\right)^2 - 2 = 0 \]
Для начала упростим логарифм: \[ \log_{\sqrt{5}} \left(\frac{2x - 3}{x - 2}\right)^2 = 2 \log_{\sqrt{5}} \left(\frac{2x - 3}{x - 2}\right) \]
Подставим это выражение в уравнение: \[ 2 \log_{\sqrt{5}} \left(\frac{2x - 3}{x - 2}\right) - 2 = 0 \]
Перенесём 2 в правую часть: \[ 2 \log_{\sqrt{5}} \left(\frac{2x - 3}{x - 2}\right) = 2 \]
Разделим обе стороны уравнения на 2: \[ \log_{\sqrt{5}} \left(\frac{2x - 3}{x - 2}\right) = 1 \]
Применим определение логарифма (то есть логарифм по основанию \(\sqrt{5}\) выражения \(\frac{2x - 3}{x - 2}\) равен 1, если \(\sqrt{5}^1 = \frac{2x - 3}{x - 2}\)): \[ \sqrt{5} = \frac{2x - 3}{x - 2} \]
Теперь умножим обе стороны уравнения на \(x - 2\): \[ \sqrt{5} (x - 2) = 2x - 3 \]
Раскроем скобки: \[ \sqrt{5} x - 2 \sqrt{5} = 2x - 3 \]
Перенесём все переменные \(x\) на одну сторону: \[ \sqrt{5} x - 2x = -3 + 2 \sqrt{5} \]
Вынесем \(x\) за скобки: \[ x(\sqrt{5} - 2) = -3 + 2 \sqrt{5} \]
Разделим обе стороны на \(\sqrt{5} - 2\): \[ x = \frac{-3 + 2 \sqrt{5}}{\sqrt{5} - 2} \]
Вот и всё! Это x, который решает данное уравнение. Поскольку здесь, возможно, несколько решений, давай найдём большее из них, если оно есть. Для этого проверим \(x\) в контексте уравнения на другие возможные значения.
