й
Привет! Давай разберемся с этим уравнением.
На фото у нас уравнение:
\[ \log_{\sqrt{5}}\left( \frac{2x + 3}{x - 2} \right) + \log_5(x - 2)^2 = 2 \]
- Рассмотрим логарифмы с одинаковыми основаниями: \[ \log_{\sqrt{5}}\left( \frac{2x + 3}{x - 2} \right) = \frac{\log_5 \left( \frac{2x + 3}{x - 2} \right)}{\log_5 \sqrt{5}} \] А \(\log_5 \sqrt{5}\) равен \(\frac{1}{2}\), потому что \(\sqrt{5} = 5^{1/2}\).
Уравнение переписывается в виде: \[ 2 \log_5 \left( \frac{2x + 3}{x - 2} \right) + \log_5(x - 2)^2 = 2 \]
Теперь упростим выражение: \[ 2 \log_5 \left( \frac{2x + 3}{x - 2} \right) + \log_5(x - 2)^2 = 2 \] Применим свойства логарифмов: \[ \log_5 \left( \frac{2x+3}{x-2} \right)^2 + \log_5(x-2)^2 = 2 \]
Объединим логарифмы: \[ \log_5 \left( \left( \frac{2x+3}{x-2} \right)^2 \cdot (x-2)^2 \right) = 2 \]
Сократим: \[ \log_5 (2x+3)^2 = 2 \]
Теперь уравняем аргументы: \[ (2x+3)^2 = 5^2 \]
Решим уравнение: \[ (2x+3)^2 = 25 \]
Возьмем корень: \[ 2x+3 = 5 \quad \text{или} \quad 2x+3 = -5 \]
Рассмотрим оба варианта: \[ 2x + 3 = 5 \quad \Rightarrow \quad 2x = 2 \quad \Rightarrow \quad x = 1 \] \[ 2x + 3 = -5 \quad \Rightarrow \quad 2x = -8 \quad \Rightarrow \quad x = -4 \]
- Теперь нужно выбрать большее решение: \[ x = 1 \quad \text{или} \quad x = -4 \]
Большее решение: \( x = 1 \)
Ответ: \( x = 1 \)
