Й

Привет! Давай разберемся с задачей. Нам нужно найти максимальное значение параметра \( a \), при котором уравнение

\[ \frac{x^3 - 64}{x - 4} = a \]

имеет ровно один корень.

Шаг 1: Упростим левую часть уравнения

Посмотрим на выражение \( \frac{x^3 - 64}{x - 4} \). Это напоминает нам разность кубов:

\[ x^3 - 4^3 = (x - 4)(x^2 + 4x + 16) \]

Тогда дробь превращается в:

\[ \frac{(x - 4)(x^2 + 4x + 16)}{x - 4} \]

При \( x \neq 4 \) дробь сократится:

\[ x^2 + 4x + 16 \]

Шаг 2: Найдем корни уравнения \( x^2 + 4x + 16 = a \)

Для этого перенесем \( a \) в левую часть:

\[ x^2 + 4x + 16 - a = 0 \]

Это квадратное уравнение. Для того чтобы оно имело ровно один корень, дискриминант должен быть равен нулю.

Шаг 3: Найдем дискриминант

Для уравнения вида \( ax^2 + bx + c = 0 \) дискриминант равен:

\[ D = b^2 - 4ac \]

В нашем случае:

\[ a = 1, \quad b = 4, \quad c = 16 - a \]

Вычислим дискриминант:

\[ D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (16 - a) \] \[ D = 16 - 4(16 - a) \] \[ D = 16 - 64 + 4a \] \[ D = 4a - 48 \]

Шаг 4: Найдем \( a \), при котором дискриминант равен нулю

\[ 4a - 48 = 0 \] \[ 4a = 48 \] \[ a = 12 \]

Ответ

Максимальное значение параметра \( a \), при котором уравнение имеет ровно один корень, равно 12.

Надеюсь, теперь всё понятно! Если остались вопросы, спрашивай.