й

Привет! Давай вместе разберемся с задачей.

У нас есть уравнение: \(\frac{x^3 - 64}{x - 4} = a\).

Нам нужно найти такое значение параметра \(a\), при котором уравнение имеет ровно один корень.

Первый шаг - упростить левую часть уравнения. Заметим, что выражение \(\frac{x^3 - 64}{x - 4}\) можно упростить:

\[ \frac{x^3 - 64}{x - 4} = \frac{(x - 4)(x^2 + 4x + 16)}{x - 4}. \]

При \(x \neq 4\), это сокращается до:

\[ x^2 + 4x + 16. \]

Таким образом, уравнение принимает вид:

\[ x^2 + 4x + 16 = a. \]

Теперь нужно решить это уравнение с одним неизвестным \(x\). При этом уравнение должно иметь ровно один корень. Для квадратного уравнения это возможно только в том случае, если дискриминант равен нулю.

Ведем дискриминант этого уравнения: \(D = b^2 - 4ac\).

В нашем случае, \(a = 1\), \(b = 4\), \(c = 16 - a\).

Тогда дискриминант равен:

\[ D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (16 - a) = 16 - 4 \cdot 16 + 4a = 16 - 64 + 4a = 4a - 48. \]

Чтобы у уравнения был ровно один корень, дискриминант должен быть равен нулю:

\[ 4a - 48 = 0. \]

Решим это уравнение:

\[ 4a = 48, \]

\[ a = 12. \]

Таким образом, значение параметра \(a\), при котором уравнение имеет ровно один корень, равно \(12\).

Надеюсь, это помогло! Если есть вопросы, дай знать.