3*(2/5)²+50⁵/20⁶:(25/4)³

Чтобы решить выражение \(3 \times \left(\frac{2}{5}\right)^2 + \frac{50^5}{20^6} : \left(\frac{25}{4}\right)^3\), давайте разберем его по частям.

1. Начнем с первой части: \(3 \times \left(\frac{2}{5}\right)^2\).

   • Сначала вычислим \(\left(\frac{2}{5}\right)^2\): \[ \left(\frac{2}{5}\right)^2 = \frac{2^2}{5^2} = \frac{4}{25}. \]

   • Теперь умножим на 3: \[ 3 \times \frac{4}{25} = \frac{12}{25}. \]

2. Далее переходим ко второй части: \(\frac{50^5}{20^6}\).

   • Можно упростить это выражение. Заметим, что: \[ 50 = 5 \times 10 \quad \text{и} \quad 20 = 2 \times 10. \] Поэтому: \[ 50^5 = (5 \times 10)^5 = 5^5 \times 10^5, \] \[ 20^6 = (2 \times 10)^6 = 2^6 \times 10^6. \]

   Теперь мы можем записать: \[ \frac{50^5}{20^6} = \frac{5^5 \times 10^5}{2^6 \times 10^6} = \frac{5^5}{2^6} \times \frac{10^5}{10^6} = \frac{5^5}{2^6} \times \frac{1}{10} = \frac{5^5}{2^6 \times 10}. \]

3. Теперь обратим внимание на третью часть: \(\left(\frac{25}{4}\right)^3\).

   • Вычислим: \[ \left(\frac{25}{4}\right)^3 = \frac{25^3}{4^3}. \] Так как \(25 = 5^2\) и \(4 = 2^2\), получаем: \[ \left(\frac{25}{4}\right)^3 = \frac{(5^2)^3}{(2^2)^3} = \frac{5^6}{2^6}. \]

4. Теперь можно выразить данное деление: \[ \frac{50^5}{20^6} : \left(\frac{25}{4}\right)^3 = \frac{5^5}{2^6 \times 10} : \frac{5^6}{2^6} = \frac{5^5}{2^6 \times 10} \times \frac{2^6}{5^6} = \frac{1}{10 \times 5} = \frac{1}{50}. \]

5. Теперь суммируем обе части: \[ \frac{12}{25} + \frac{1}{50}. \]

   Чтобы сложить дроби, приведем их к общему знаменателю. Общий знаменатель будет 50: \[ \frac{12}{25} = \frac{12 \times 2}{25 \times 2} = \frac{24}{50}. \]

   Теперь складываем: \[ \frac{24}{50} + \frac{1}{50} = \frac{24 + 1}{50} = \frac{25}{50} = \frac{1}{2}. \]

Ответ: \(\frac{1}{2}\).