Найдите наименьшее значение функции у = (x - 4)2(x - 3) - 76 на Часть 2 отрезке [3; 6].
Чтобы найти наименьшее значение функции \( y = (x - 4)^2(x - 3) - 76 \) на отрезке \([3; 6]\), нужно выполнить несколько шагов.
Найдем производную функции: Это нам поможет определить критические точки, где производная равна нулю или не существует.
Функция \( y = (x - 4)^2(x - 3) - 76 \).
Применим правило произведения и найдем \( y' \): \[ y = u \cdot v, \] где \( u = (x - 4)^2 \) и \( v = (x - 3) \).
Найдем производные \( u' \) и \( v' \): \[ u' = 2(x - 4), \] \[ v' = 1. \]
Затем, по правилу производной для произведения получаем: \[ y' = u'v + uv' = 2(x - 4)(x - 3) + (x - 4)^2. \]
Упростим \( y' \): \[ y' = 2(x - 4)(x - 3) + (x - 4)^2 = (x - 4)[2(x - 3) + (x - 4)] = (x - 4)(3x - 10). \]
Найдем критические точки: Для этого решим уравнение \( y' = 0 \): \[ (x - 4)(3x - 10) = 0. \] Это уравнение равно нулю при:
- \( x - 4 = 0 \) → \( x = 4 \),
- \( 3x - 10 = 0 \) → \( x = \frac{10}{3} \approx 3.33 \).
Определим значение функции на границах и критических точках: Теперь мы подставим найденные точки в функцию \( y \):
Для \( x = 3 \): \[ y(3) = (3 - 4)^2(3 - 3) - 76 = 0 - 76 = -76. \]
Для \( x = 4 \): \[ y(4) = (4 - 4)^2(4 - 3) - 76 = 0 - 76 = -76. \]
Для \( x = 6 \): \[ y(6) = (6 - 4)^2(6 - 3) - 76 = 2^2 \cdot 3 - 76 = 4 \cdot 3 - 76 = 12 - 76 = -64. \]
Сравним значения:
- \( y(3) = -76 \)
- \( y(4) = -76 \)
- \( y(6) = -64 \)
Наименьшее значение функции на отрезке \([3; 6]\) равно \(-76\), которое достигается в точках \( x = 3 \) и \( x = 4 \).
Таким образом, ответ: наименьшее значение функции на заданном отрезке равно \(-76\).
