2x²-5x+2:x+4≥0

Чтобы решить неравенство \( \frac{2x^2 - 5x + 2}{x + 4} \geq 0 \), давайте сначала найдем нули числителя.

1. Решим уравнение \( 2x^2 - 5x + 2 = 0 \) с помощью дискриминанта. Формула дискриминанта \( D = b^2 - 4ac \):

   • Здесь \( a = 2 \), \( b = -5 \), \( c = 2 \).
   • \( D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9 \).

2. Поскольку дискриминант положителен, у уравнения два различных корня:

   • \( x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + 3}{4} = 2 \)
   • \( x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - 3}{4} = \frac{1}{2} \)

3. Теперь мы имеем два нуля: \( x_1 = 2 \) и \( x_2 = \frac{1}{2} \).

4. Следовательно, у нас есть следующие критические точки, включая нуль знаменателя:

   • \( x_1 = 2 \)
   • \( x_2 = \frac{1}{2} \)
   • \( x_3 = -4 \) (из знаменателя \( x + 4 = 0 \))

5. Теперь мы разделим числовую прямую на интервалы в соответствии с этими критическими точками:

   • \( (-\infty, -4) \)
   • \( (-4, \frac{1}{2}) \)
   • \( (\frac{1}{2}, 2) \)
   • \( (2, +\infty) \)

6. Проверим знак выражения на каждом из интервалов:

   • На интервале \( (-\infty, -4) \) (например, \( x = -5 \)): \( \frac{2(-5)^2 - 5(-5) + 2}{-5 + 4} = \frac{50 + 25 + 2}{-1} < 0 \)
   • На интервале \( (-4, \frac{1}{2}) \) (например, \( x = 0 \)): \( \frac{2(0)^2 - 5(0) + 2}{0 + 4} = \frac{2}{4} > 0 \)
   • На интервале \( (\frac{1}{2}, 2) \) (например, \( x = 1 \)): \( \frac{2(1)^2 - 5(1) + 2}{1 + 4} = \frac{2 - 5 + 2}{5} = \frac{-1}{5} < 0 \)
   • На интервале \( (2, +\infty) \) (например, \( x = 3 \)): \( \frac{2(3)^2 - 5(3) + 2}{3 + 4} = \frac{18 - 15 + 2}{7} = \frac{5}{7} > 0 \)

7. Теперь соберем результаты. Мы ищем, где это выражение больше или равно нулю:

   • \( (-4, \frac{1}{2}) \) — положительный;
   • \(\frac{1}{2}\) — ноль (входит в решение);
   • \((2, +\infty)\) — положительный;
   • \( x = 2 \) также входит в решение.

Таким образом, решение неравенства будет: \[ (-4, \frac{1}{2}] \cup [2, +\infty) \]

Это означает, что \( x \) может принимать значения в этих интервалах, таким образом включая точки, где выражение равно нулю.