реши (x-2)|x+3|=5|x²-x+2||-20|

Давайте решим уравнение \((x-2)|x+3|=5|x²-x+2|-20\).

Чтобы упростить решение, начнем с анализа каждой части уравнения:

1. Определяем область значений:

   • \(|x+3|\) зависит от того, больше или меньше \(x\) чем -3.
   • \(|x^2 - x + 2|\) всегда положительно, так как дискриминант этого квадратного уравнения \((-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 1 - 8 = -7\) отрицателен. Таким образом, \(|x^2 - x + 2| = x^2 - x + 2\).

2. Замена уравнения: Переписываем его как: \((x-2)|x+3| = 5(x^2 - x + 2) - 20\).

3. Упрощение: \[ 5(x^2 - x + 2) - 20 = 5x^2 - 5x + 10 - 20 = 5x^2 - 5x - 10. \] Таким образом у нас есть: \((x-2)|x+3| = 5x^2 - 5x - 10.\)

4. Рассматриваем случаи: Теперь нужно рассмотреть два случая, в зависимости от знака \(|x+3|\).

   Случай 1: \(x + 3 \geq 0\) (т.е. \(x \geq -3\)), тогда \(|x+3| = x + 3\). \[ (x-2)(x+3) = 5x^2 - 5x - 10. \] Раскроем скобки: \[ x^2 + 3x - 2x - 6 = 5x^2 - 5x - 10. \] Упрощаем: \[ x^2 + x - 6 = 5x^2 - 5x - 10. \] Приведем уравнение к стандартному виду: \[ 0 = 4x^2 - 6x - 4. \] Делим на 2: \[ 0 = 2x^2 - 3x - 2. \] Решаем это квадратное уравнение с помощью формулы корней: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2)}}{2 \cdot 2} = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 16}}{4} = \frac{3 \pm 5}{4}. \] Получаем два корня: \[ x_1 = \frac{8}{4} = 2, \quad x_2 = \frac{-2}{4} = -0.5. \]

   Проверяем допустимость решений:

   • Для \(x = 2\), \(|x + 3| = 5\) (допустимо).
   • Для \(x = -0.5\), \(|x + 3| = 2.5\) (допустимо).

   Случай 2: \(x + 3 < 0\) (т.е. \(x < -3\)), тогда \(|x+3| = -(x + 3) = -x - 3\). \[ (x - 2)(-x - 3) = 5x^2 - 5x - 10. \] Раскроем скобки: \[ -x^2 - 3x + 2x + 6 = 5x^2 - 5x - 10. \] Упрощаем: \[ -x^2 - x + 6 = 5x^2 - 5x - 10. \] Приводим к стандартному виду: \[ 0 = 6x^2 - 4x - 16. \] Делим на 2: \[ 0 = 3x^2 - 2x - 8. \] Решаем это квадратное уравнение: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-8)}}{2 \cdot 3} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 96}}{6} = \frac{2 \pm 10}{6}. \] Получаем два корня: \[ x_1 = \frac{12}{6} = 2, \quad x_2 = \frac{-8}{6} = -\frac{4}{3}. \]

   Проверяем допустимость решений:

   • Для \(x = 2\) – недопустимо для этого случая.
   • Для \(x = -\frac{4}{3}\) – недопустимо, так как \(-\frac{4}{3}\) больше -3.

Таким образом, получаем все допустимые решения.

Ответ: \(x = 2\) и \(x = -0.5\).