реши ||2x-1|-5|+x=|6-x|

Чтобы решить уравнение \( ||2x-1|-5|+x=|6-x| \), давайте разберем его шаг за шагом.

Сначала у нас есть две абсолютные величины в уравнении. Мы начнем с решения внутреннего уравнения \( |6-x| \).

Шаг 1: Разбираем \( |6-x| \)

• Если \( x \leq 6 \), то \( |6-x| = 6-x \).
• Если \( x > 6 \), то \( |6-x| = x-6 \).

Теперь разберем \( ||2x-1|-5| \):

Шаг 2: Разбираем \( |2x-1| \)

• Если \( 2x-1 \geq 0 \) (то есть \( x \geq 0.5 \)), то \( |2x-1| = 2x-1 \).
• Если \( 2x-1 < 0 \) (то есть \( x < 0.5 \)), то \( |2x-1| = 1-2x \).

Теперь рассмотрим различные случаи на основе полученных условий.

Случай 1: \( x < 0.5 \)

В этом случае:

• \( |2x-1| = 1-2x \)
• \( ||2x-1|-5| = |(1-2x)-5| = |(-2x-4)| = 2x + 4 \)
• \( |6-x| = 6-x \)

Теперь подставляем в уравнение: \[ (2x+4)+x=6-x \] Упрощаем: \[ 3x + 4 = 6 - x \] Соберем все \( x \) в одну сторону: \[ 3x + x = 6 - 4 \] \[ 4x = 2 \] \[ x = 0.5 \]

Проверяем: \( ||2(0.5)-1|-5| + 0.5 = |6-0.5| \) \( ||0| - 5| + 0.5 = |5.5| \) \( 5 + 0.5 = 5.5 \) — Верно.

Случай 2: \( 0.5 \leq x < 6 \)

В этом случае:

• \( |2x-1| = 2x-1 \)
• \( ||2x-1|-5| = |(2x-1)-5| = |(2x-6)| \)

Подразделим на два подслучая:

• Подслучай 2.1: \( 2x - 6 \geq 0 \) (то есть \( x \geq 3 \))
  • \( ||2x-6| = 2x - 6 \)
  • \( |6-x| = 6-x \)

Подставляем: \[ (2x-6)+x=6-x \] Упрощаем: \[ 3x - 6 = 6 - x \] \[ 4x = 12 \] \[ x = 3 \]

Проверяем: \( ||2(3)-1|-5| + 3 = |6-3| \) \( ||5|-5| + 3 = |3| \) \( 0 + 3 = 3 \) — Верно.

• Подслучай 2.2: \( 0.5 \leq x < 3 \)
  • \( ||2x-6| = 6 - 2x \)
  • \( |6-x| = 6-x \)

Подставляем: \[ (6 - 2x) + x = 6 - x \] Упрощаем: \[ 6 - x = 6 - x \] — это верно для всех \( x \) в этом интервале.

Случай 3: \( x \geq 6 \)

В этом случае:

• \( |2x-1| = 2x-1 \)
• \( ||2x-1|-5| = (2x-1)-5 = 2x - 6 \)
• \( |6-x| = x - 6 \)

Подставляем: \[ (2x - 6) + x = x - 6 \] Упрощаем: \[ 3x - 6 = x - 6 \] \[ 2x = 0 \] \[ x = 0 \] — не подходит в наш случай \( x \geq 6 \).

Ответ: Уравнение имеет решения: \( x = 0.5 \) и \( x = 3 \) для \( x < 6 \).