Решить неравенство х2- х/6+ х+1>2х+9/3
Чтобы решить неравенство \( x^2 - \frac{x}{6} + x + 1 > \frac{2x + 9}{3} \), начнем с упрощения выражения.
Приведем правую часть неравенства к общему знаменателю. Умножим обе стороны на 3, чтобы избавиться от дробей: \[ 3 \left( x^2 - \frac{x}{6} + x + 1 \right) > 2x + 9 \]
Раскроем скобки: \[ 3x^2 - \frac{3x}{6} + 3x + 3 > 2x + 9 \]
Упростим \( -\frac{3x}{6} \) до \( -\frac{x}{2} \): \[ 3x^2 - \frac{x}{2} + 3x + 3 > 2x + 9 \]
Переносим все с одной стороны: \[ 3x^2 - \frac{x}{2} + 3x - 2x + 3 - 9 > 0 \] Это упрощается до: \[ 3x^2 - \frac{x}{2} + x - 6 > 0 \] Или: \[ 3x^2 - \frac{x}{2} - 6 > 0 \]
Теперь объединим \( - \frac{x}{2} \) и \( x \): \[ 3x^2 - \frac{x}{2} + \frac{2x}{2} - 6 > 0 \] Это дает: \[ 3x^2 + \frac{x}{2} - 6 > 0 \]
Умножим неравенство на 2 (знак неравенства не изменяется, так как 2 положительное): \[ 6x^2 + x - 12 > 0 \]
Теперь решим квадратное уравнение \( 6x^2 + x - 12 = 0 \) с помощью дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-12) = 1 + 288 = 289 \]
Находим корни: \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm 17}{12} \]
Получим два корня: \[ x_1 = \frac{16}{12} = \frac{4}{3}, \quad x_2 = \frac{-18}{12} = -\frac{3}{2} \]
Теперь у нас есть два корня: \( x_1 = \frac{4}{3} \) и \( x_2 = -\frac{3}{2} \). Эти корни делят числовую линию на три интервала:
- \( (-\infty, -\frac{3}{2}) \)
- \( (-\frac{3}{2}, \frac{4}{3}) \)
- \( (\frac{4}{3}, +\infty) \)
Проверим знак неравенства в каждом из интервалов. Выберем тестовые точки:
- Для \( x = -2 \) (первый интервал): \( 6(-2)^2 + (-2) - 12 = 24 - 2 - 12 = 10 > 0 \)
- Для \( x = 0 \) (второй интервал): \( 6(0)^2 + (0) - 12 = -12 < 0 \)
- Для \( x = 2 \) (третий интервал): \( 6(2)^2 + 2 - 12 = 24 + 2 - 12 = 14 > 0 \)
Исходя из полученных знаков, неравенство выполняется на интервалах: \[ x \in (-\infty, -\frac{3}{2}) \cup (\frac{4}{3}, +\infty) \]
Таким образом, решение неравенства: \[ x < -\frac{3}{2} \quad \text{или} \quad x > \frac{4}{3} \]
