Докажем, что, начиная с некоторого n , будет выполнено неравенство 0,999n<0,001 . Для этого перепишем неравенство, заменив выражения на обратные к ним: 10,999n < 10,001=1000 .…
Докажем, что, начиная с некоторого n , будет выполнено неравенство 0,999n<0,001 . Для этого перепишем неравенство, заменив выражения на обратные к ним: 10,999n < 10,001=1000 . Преобразуем левую часть 10,999n=(10,999)n=(1+ 1 )n . К полученному выражению применим неравенство Бернулли: (1+ 1 )n ⩽ 1+ 1 n . Значение правой части будет больше 1000 при n> 103 . Значит, и исходное неравенство 0,999n<0,001 будет выполнено при таких n .
Давайте подробно разберём этот вопрос.
Мы хотим доказать, что для достаточно большого n выполняется неравенство \(0.999^n < 0.001\). Для этого начнём с преобразования неравенства. Мы можем переписать его в виде:
\[ 0.999^n < 0.001. \]
Чтобы избавиться от дробей, можно воспользоваться логарифмом:
\[ \log(0.999^n) < \log(0.001). \]
Используя свойства логарифмов, получим:
\[ n \cdot \log(0.999) < \log(0.001). \]
Заем вспомним, что \(\log(0.999)\) - это число, которое будет отрицательным, так как 0.999 меньше 1. Поэтому, разделив обе стороны на \(\log(0.999)\) (что меняет знак неравенства), получим:
\[ n > \frac{\log(0.001)}{\log(0.999)}. \]
Теперь вычислим \(\log(0.001)\):
\[ \log(0.001) = \log(10^{-3}) = -3. \]
Далее рассчитаем \(\log(0.999)\). Для простоты, мы можем воспользоваться приближением \(\log(1 - x) \approx -x\) при малых x (это результат разложения в ряд Тейлора). Так как \(0.999\) близко к \(1\):
\[ \log(0.999) \approx -0.001. \]
Теперь подставим это значение в неравенство:
\[ n > \frac{-3}{-0.001} = 3000. \]
Таким образом, мы установили, что для достаточно больших n (например, \(n \geq 3000\)) неравенство \(0.999^n < 0.001\) будет выполнено.
Этим мы закончили доказательство, что начиная с \(n \geq 3000\), неравенство действительно выполняется. Неплохо, верно? Вы можете попробовать подставить другие значения n, чтобы увидеть, как это работает на практике!
