Докажем, что, начиная с некоторого n , будет выполнено неравенство 0,999n<0,001 . Для этого перепишем неравенство, заменив выражения на обратные к ним: 1/0,999n 1/0,001=1000 .…
Докажем, что, начиная с некоторого n , будет выполнено неравенство 0,999n<0,001 . Для этого перепишем неравенство, заменив выражения на обратные к ним: 1/0,999n 1/0,001=1000 . Преобразуем левую часть 1/0,999n=(1/0,999)n=(1+ )n . К полученному выражению применим неравенство Бернулли: (1+ )n 1+ n . Значение правой части будет больше 1000 при n> . Значит, и исходное неравенство 0,999n<0,001 будет выполнено при таких n .
Чтобы доказать неравенство \( 0,999^n < 0,001 \) при некотором \( n \), начнем с того, что выразим его по-другому. Мы можем переписать данное неравенство следующим образом:
\[ \frac{1}{0,999^n} > \frac{1}{0,001} = 1000. \]
Теперь преобразим левую часть:
\[ \frac{1}{0,999^n} = \left( \frac{1}{0,999} \right)^n. \]
Обозначим \( x = \frac{1}{0,999} \). Таким образом, наше неравенство можно записать как:
\[ x^n > 1000. \]
Теперь мы можем воспользоваться неравенством Бернулли, которое утверждает, что если \( a \) — положительное число и \( x = 1 + a \), то для любого \( n \geq 0 \) выполняется следующее:
\[ (1 + a)^n \geq 1 + an. \]
В нашем случае мы можем записать \( a = 0,001 \), что позволит нам написать:
\[ x^n = \left(1 + 0,001\right)^n \geq 1 + 0,001n. \]
Мы хотим, чтобы это значение было больше 1000:
\[ 1 + 0,001n > 1000. \]
Решим это неравенство:
\[ 0,001n > 999 \quad \Rightarrow \quad n > \frac{999}{0,001} = 999000. \]
Таким образом, при \( n > 999000 \) неравенство \( 0,999^n < 0,001 \) будет выполнено.
Итак, мы доказали, что для достаточно большого \( n \) (в данном случае \( n > 999000 \)) данное неравенство выполняется.
