תמצא את נקודות הקיצון של הפולינום הבא: x^4-12x^3+36x^2
Чтобы найти точки экстремума полинома \( f(x) = x^4 - 12x^3 + 36x^2 \), следуем следующему алгоритму:
Найдите производную: Для начала вычислим первую производную функции: \[ f'(x) = 4x^3 - 36x^2 + 72x \]
Приравняйте производную к нулю: Чтобы найти критические точки (точки, где могут быть экстремумы), необходимо решить уравнение: \[ 4x^3 - 36x^2 + 72x = 0 \] Это уравнение можно упростить, разделив на 4: \[ x^3 - 9x^2 + 18x = 0 \] Теперь вынесем общий множитель \( x \): \[ x(x^2 - 9x + 18) = 0 \]
Решите уравнение: У нас есть одна очевидная корень: \[ x = 0 \] Остальное уравнение: \[ x^2 - 9x + 18 = 0 \] Решим это квадратное уравнение с помощью discriminant: \[ D = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 18 = 81 - 72 = 9 \] Корни будут: \[ x = \frac{9 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{9 \pm 3}{2} \] Это дает два решения: \[ x_1 = 6 \quad \text{и} \quad x_2 = 3 \]
Найденные критические точки: Таким образом, у нас есть три критические точки: \[ x = 0, \quad x = 3, \quad x = 6 \]
Классифицируйте кривые: Для определения того, являются ли эти точки минимумами или максимумами, можно использовать вторую производную: \[ f''(x) = 12x^2 - 72x + 72 \] Подставим критические точки:
- Для \( x = 0 \): \[ f''(0) = 12(0)^2 - 72(0) + 72 = 72 > 0 \quad (\text{минимум}) \]
- Для \( x = 3 \): \[ f''(3) = 12(3)^2 - 72(3) + 72 = 12 \times 9 - 216 + 72 = -72 < 0 \quad (\text{максимум}) \]
- Для \( x = 6 \): \[ f''(6) = 12(6)^2 - 72(6) + 72 = 12 \times 36 - 432 + 72 = -72 < 0 \quad (\text{максимум}) \]
Таким образом, точки к экстремуму функции выглядят так:
- Точка \( x = 0 \) является минимумом.
- Точки \( x = 3 \) и \( x = 6 \) являются максимумами.
