X²-4x-117≥0

Чтобы решить неравенство \(x^2 - 4x - 117 \geq 0\), начнем с нахождения корней соответствующего уравнения \(x^2 - 4x - 117 = 0\) с помощью дискриминанта.

Дискриминант \(D\) находится по формуле: \[ D = b^2 - 4ac, \] где \(a = 1\), \(b = -4\), \(c = -117\).

Подставим значения: \[ D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-117) = 16 + 468 = 484. \]

Так как дискриминант положителен, у нас есть два различных корня. Теперь найдем сами корни с помощью формулы: \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}. \]

Подставляем: \[ x_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{484}}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm 22}{2}. \]

Теперь вычислим:

1. \(x_1 = \frac{4 + 22}{2} = \frac{26}{2} = 13\),
2. \(x_2 = \frac{4 - 22}{2} = \frac{-18}{2} = -9\).

Таким образом, корни уравнения: \(x_1 = 13\) и \(x_2 = -9\).

Теперь, чтобы решить неравенство \(x^2 - 4x - 117 \geq 0\), необходимо определить знаки функции на интервалах, разделенных корнями:

1. \( (-\infty, -9) \)
2. \( (-9, 13) \)
3. \( (13, +\infty) \)

Проверим знак функции в каждом из этих интервалов:

1. Для \(x < -9\) (например, \(x = -10\)): \[ (-10)^2 - 4(-10) - 117 = 100 + 40 - 117 = 23 \quad \text{(положительно)} \]
2. Для \(-9 < x < 13\) (например, \(x = 0\)): \[ 0^2 - 4(0) - 117 = -117 \quad \text{(отрицательно)} \]
3. Для \(x > 13\) (например, \(x = 14\)): \[ 14^2 - 4(14) - 117 = 196 - 56 - 117 = 23 \quad \text{(положительно)} \]

Таким образом, решение неравенства \(x^2 - 4x - 117 \geq 0\) будет: \[ x \in (-\infty, -9] \cup [13, +\infty). \] Это означает, что неравенство выполняется для \(x\) в пределах от \(-\infty\) до \(-9\) и от \(13\) до \(+\infty\).