найти промежутки возрастания и убывания и экстремум функции y=-x³+x²+8x
Чтобы найти промежутки возрастания, убывания и экстремумы функции \( y = -x^3 + x^2 + 8x \), необходимо выполнить следующие шаги.
Найти производную функции. Производная поможет определить точки, в которых функция меняет своё поведение (возрастает или убывает).
Вычислим первую производную \( y' \): \[ y' = \frac{d}{dx}(-x^3 + x^2 + 8x) = -3x^2 + 2x + 8. \]
Найти критические точки. Установим производную равной нулю: \[ -3x^2 + 2x + 8 = 0. \]
Для решения этого уравнения применим формулу реш roots: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, \] где \( a = -3, b = 2, c = 8 \).
Подставим значения: \[ D = 2^2 - 4 \cdot (-3) \cdot 8 = 4 + 96 = 100. \]
Корень дискриминанта: \[ \sqrt{D} = 10. \]
Теперь найдем корни: \[ x_1 = \frac{-2 + 10}{-6} = \frac{8}{-6} = -\frac{4}{3}, \quad x_2 = \frac{-2 - 10}{-6} = \frac{-12}{-6} = 2. \]
Определить промежутки возрастания и убывания. Для этого исследуем знак производной на интервалах, выделенных критическими точками \( x = -\frac{4}{3} \) и \( x = 2 \). Разделим ось на интервалы:
- \( (-\infty, -\frac{4}{3}) \)
- \( (-\frac{4}{3}, 2) \)
- \( (2, +\infty) \)
Теперь выберем test point в каждом интервале и подставим его в производную, чтобы определить знак:
Для \( x = -2 \) (интервал \( (-\infty, -\frac{4}{3}) \)): \[ y'(-2) = -3(-2)^2 + 2(-2) + 8 = -3 \cdot 4 - 4 + 8 = -12 - 4 + 8 = -8 \quad (\text{отрицательно}), \] значит, \( y \) убывает на \( (-\infty, -\frac{4}{3}) \).
Для \( x = 0 \) (интервал \( (-\frac{4}{3}, 2) \)): \[ y'(0) = -3(0)^2 + 2(0) + 8 = 8 \quad (\text{положительно}), \] значит, \( y \) возрастает на \( (-\frac{4}{3}, 2) \).
Для \( x = 3 \) (интервал \( (2, +\infty) \)): \[ y'(3) = -3(3)^2 + 2(3) + 8 = -27 + 6 + 8 = -13 \quad (\text{отрицательно}), \] значит, \( y \) убывает на \( (2, +\infty) \).
Определить экстремумы. Так как мы нашли, что на интервале \( (-\infty, -\frac{4}{3}) \) функция убывает, а на интервале \( (-\frac{4}{3}, 2) \) возрастает, значит в точке \( x = -\frac{4}{3} \) находится локальный минимум. Далее, поскольку функция возрастает на \( (-\frac{4}{3}, 2) \) и убывает на \( (2, +\infty) \), в точке \( x = 2 \) находится локальный максимум.
Таким образом, резюмируя:
- Функция убывает на промежутках: \( (-\infty, -\frac{4}{3}) \) и \( (2, +\infty) \).
- Функция возрастает на промежутке: \( (-\frac{4}{3}, 2) \).
- Локальный минимум в точке \( x = -\frac{4}{3} \).
- Локальный максимум в точке \( x = 2 \).
