й

Привет! Давай разберёмся с задачей.

Нам нужно найти производную функции \( y = 2(x - 6)\sqrt{x} \) в точке \( x = 9 \).

Вот шаги к решению:

1. Для начала найдём производную функции \( y = 2(x - 6)\sqrt{x} \).

Функция представлена как произведение двух функций: \( u = 2(x - 6) \) и \( v = \sqrt{x} \). Используем правило произведения, которое гласит: \( (uv)' = u'v + uv' \).

2. Вычислим производные отдельно:

   • Производная от \( u = 2(x - 6) \): \( u' = 2 \).
   • Производная от \( v = \sqrt{x} \): \( v' = \frac{1}{2\sqrt{x}} \).

3. Применяем правило произведения: \( y' = u'v + uv' \). Подставляем \( u' = 2 \), \( v = \sqrt{x} \), \( u = 2(x - 6) \), и \( v' = \frac{1}{2\sqrt{x}} \): \( y' = 2\sqrt{x} + 2(x - 6)\frac{1}{2\sqrt{x}} \).

4. Упрощаем выражение: \( y' = 2\sqrt{x} + \frac{2(x - 6)}{2\sqrt{x}} \). \( y' = 2\sqrt{x} + \frac{x - 6}{\sqrt{x}} \). \( y' = 2\sqrt{x} + \sqrt{x} - \frac{6}{\sqrt{x}} \). \( y' = 3\sqrt{x} - \frac{6}{\sqrt{x}} \). \( y' = 3\sqrt{x} - 6x^{-1/2} \).

5. Теперь вычислим значение производной в точке \( x = 9 \): \( y'(9) = 3\sqrt{9} - 6 \cdot 9^{-1/2} \). \( y'(9) = 3 \cdot 3 - 6 \cdot \frac{1}{3} \). \( y'(9) = 9 - 2 \). \( y'(9) = 7 \).

Таким образом, производная функции в точке \( x = 9 \) равна 7.

Ответ: 7.

Если что-то неясно, спрашивай!