ц

Привет! Давай разберёмся с задачей.

Тебе нужно найти производную функции \(y = 2(x - 6)\sqrt{x}\) в точке \(x = 9\).

1. Сначала найдём общую производную функции \(y = 2(x - 6)\sqrt{x}\).
2. Используем правило произведения для нахождения производной: \((f(x)g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)\), где \(f(x) = 2(x - 6)\) и \(g(x) = \sqrt{x}\).
3. Найдём производные \((f(x))\) и \((g(x))\):

\[ f'(x) = 2 \ (потому что производная линейной функции) \] \[ g(x) = x^{1/2}, \ g'(x) = (1/2)x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}} \]

4. Подставим производные в правило произведения:

\[ y' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) \] \[ y' = 2\sqrt{x} + 2(x - 6) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} \]

5. Упростим это:

\[ y' = 2\sqrt{x} + \frac{2(x - 6)}{2\sqrt{x}} \] \[ y' = 2\sqrt{x} + \frac{x - 6}{\sqrt{x}} \] \[ y' = 2\sqrt{x} + \frac{x}{\sqrt{x}} - \frac{6}{\sqrt{x}} \] \[ y' = 2\sqrt{x} + \sqrt{x} - \frac{6}{\sqrt{x}} \] \[ y' = 3\sqrt{x} - \frac{6}{\sqrt{x}} \] \[ y' = 3\sqrt{x} - 6x^{-1/2} \]

6. Теперь найдем значение производной в точке \(x = 9\):

\[ y' = 3\sqrt{9} - 6 \cdot (9)^{-1/2} \] \[ y' = 3 \cdot 3 - 6 \cdot \frac{1}{3} \] \[ y' = 9 - 2 \] \[ y' = 7 \]

Ответ: 7