Я

Решим уравнение \( \sqrt{2x^2} + 3x - 9 = x - 3 \).

1. Начнем с того, что упростим выражение под корнем: \(\sqrt{2x^2} = \sqrt{2} \cdot |x|\).

2. Перепишем уравнение с учетом абсолютного значения: \(\sqrt{2} \cdot |x| + 3x - 9 = x - 3\).

3. Рассмотрим два случая: a) \(x \geq 0\): тогда \(|x| = x\). Уравнение станет: \(\sqrt{2} \cdot x + 3x - 9 = x - 3\). Объединим все члены с \(x\) на одну сторону: \(\sqrt{2} \cdot x + 3x - x = 9 - 3\), \((\sqrt{2} + 2)x = 6\), \(x = \frac{6}{\sqrt{2} + 2}\). Приведем к общему знаменателю: \(x = \frac{6(\sqrt{2} - 2)}{2 - 4} = \frac{6(\sqrt{2} - 2)}{-2} = -3(\sqrt{2} - 2)\), \(x = -3\sqrt{2} + 6\).

   б) \(x < 0\): тогда \(|x| = -x\). Уравнение станет: \(\sqrt{2} \cdot (-x) + 3x - 9 = x - 3\). Объединим все члены с \(x\) на одну сторону: \(-\sqrt{2} \cdot x + 3x - x = 9 - 3\), \((- \sqrt{2} + 2)x = 6\), \(x = \frac{6}{2 - \sqrt{2}}\). Приведем к общему знаменателю: \(x = \frac{6(2 + \sqrt{2})}{(2 - \sqrt{2})(2 + \sqrt{2})} = \frac{6(2 + \sqrt{2})}{4 - 2} = 3(2 + \sqrt{2})\), \(x = 6 + 3\sqrt{2}\).

Проверим оба значения: \(( - 3 \sqrt{2} + 6) \geq 0\) - условие верное, этот корень удовлетворяет. \((6 + 3 \sqrt{2}) < 0\) - условие не выполняется.

Следовательно, единственное правильное значение \(x = 6 - 3\sqrt{2}\).

Теперь произведение корней. Поскольку удовлетворяет условию только один корень, произведение равно самому корню: Ответ: \(6 - 3\sqrt{2}\).