й

Привет! Давай разберемся с твоей задачей.

Нам нужно решить неравенство \(\log x + 3 \log_2 x \leq 7\) и указать сумму длин промежутков решения.

Шаг 1. Преобразуем выражение. Используем свойство логарифмов: \(a \log_b c = \log_b c^a\). Тогда: \[ \log x + \log_2 x^3 \leq 7 \]

Шаг 2. Преобразуем логарифмы. А теперь преобразуем \(\log_2 x^3\) в логарифм по основанию 10: \[ \log x + 3 \log_2 x \leq 7 \] \[ \log x + 3 \frac{\log x}{\log 2} \leq 7 \]

Шаг 3. Вынесем общий множитель. \[ \log x (1 + \frac{3}{\log 2}) \leq 7 \] \[ \log x (\frac{\log 2 + 3}{\log 2}) \leq 7 \] \[ \log x \leq 7 \frac{\log 2}{\log 2 + 3} \]

Шаг 4. Найдем значение \(\log 2\). Приблизительно, \(\log 2 \approx 0.301\): \[ \log x \leq 7 \frac{0.301}{0.301 + 3} \] \[ \log x \leq 7 \frac{0.301}{3.301} \approx 7 \times 0.0912 \] \[ \log x \leq 0.6384 \]

Шаг 5. Возвращаемся к \(x\): \( \log x \leq 0.6384 \Leftrightarrow x \leq 10^{0.6384} \) Приблизительно мы получаем: \[ x \leq 4.34 \]

Шаг 6. Находим область логарифмов. Так как логарифм определяется только для положительных значений: \[ x > 0 \]

Шаг 7. Находим нужную сумму длин промежутков. Промежуток: \( 0 < x \leq 4.34\). Длина данного промежутка: \[ 4.34 - 0 = 4.34 \]

Ответ: 4.34

Если что-то непонятно - спрашивай!