к

Привет! Давай вместе разберемся с этой задачей. Нам нужно найти промежуток возрастания функции \( f(x) = 8 \ln{x} - x^2 \).

1. Для начала найдём производную функции. Производная функции \( f(x) \) по \( x \) будет \( f'(x) \).

2. Напомним, что производная логарифма \( \ln{x} \) равна \( 1/x \), а производная \( x^2 \) равна \( 2x \).

3. Итак, производная нашей функции будет: \[ f'(x) = 8 \left( \frac{1}{x} \right) - 2x = \frac{8}{x} - 2x \]

4. Чтобы найти промежутки возрастания, приравняем производную к нулю и решим уравнение: \[ \frac{8}{x} - 2x = 0 \]

5. Упростим это уравнение: \[ \frac{8}{x} = 2x \] \[ 8 = 2x^2 \] \[ x^2 = 4 \] \[ x = \pm 2 \]

6. Нам нужно проверить знак производной в интервалах, заданных точками \( x = 2 \) и \( x = -2 \):

   • При \( x > 2 \), например, \( x = 3 \): \[ f'(3) = \frac{8}{3} - 6 \] Это значение отрицательно, значит, функция убывает.
   • При \( -2 < x < 2 \), например, \( x = 1 \): \[ f'(1) = 8 - 2 = 6 \] Это значение положительно, значит, функция возрастает.
   • При \( x < -2 \), например, \( x = -3 \): \[ f'(-3) = \frac{8}{-3} + 6 \] Это значение положительно, значит, функция возрастает.

Таким образом, промежуток возрастания функции \( f(x) \) — это \( (-\infty, -2) \cup (0, 2) \).