ц
Привет! Давай разберёмся с этой задачей шаг за шагом.
Понять контекст задачи: Нужно найти промежуток возрастания функции \( f(x) = 8 \ln{x} - x^2 \).
Ищем производную: Возьмем производную функции \( f(x) \). Для этого,
- Производная от \( 8 \ln{x} \) будет \( \frac{8}{x} \).
- Производная от \( -x^2 \) будет \( -2x \).
Соответственно, производная функции будет:
\( f'(x) = \frac{8}{x} - 2x \)
Находим критические точки: Чтобы найти критические точки, приравняем производную к нулю:
\( \frac{8}{x} - 2x = 0 \)
Переносим \( -2x \) в правую часть:
\( \frac{8}{x} = 2x \)
Умножим обе части уравнения на \( x \):
\( 8 = 2x^2 \)
Разделим обе части уравнения на 2:
\( 4 = x^2 \)
Возьмем квадратный корень от обеих частей:
\( x = \pm 2 \)
Но так как \( x \) должен быть положительным (поскольку логарифм определён для положительных чисел), остаётся \( x = 2 \).
Исследуем производную на знаки: В промежутках \( (0, 2) \) и \( (2, \infty) \) проверим знаки производной:
Для \( x \) в интервале \( (0, 2) \), например, возьмём \( x = 1 \): \( f'(1) = \frac{8}{1} - 2 \cdот 1 = 8 - 2 = 6 \) (положительная).
Для \( x \) в интервале \( (2, \infty) \), например, возьмём \( x = 3 \): \( f'(3) = \frac{8}{3} - 2 \cdот 3 = \frac{8}{3} - 6 \approx -3.33 \) (отрицательная).
На основании знаков производной:
- Функция возрастает в промежутке \( (0, 2) \).
- Функция убывает в промежутке \( (2, \infty) \).
Поэтому, промежуток возрастания функции \( f(x) = 8 \ln{x} - x^2 \) - это \( (0, 2) \).
Надеюсь, это помогло! Если у тебя есть ещё вопросы, не стесняйся спрашивать.
