К

Привет! Давай разберемся с задачей.

Нам нужно решить уравнение и найти наименьшее положительное решение в виде десятичной дроби.

Уравнение: \(3 \sin \left(\frac{5}{6} \pi x \right) = 2 \cos^{2} \left( \frac{5}{6} \pi x \right)\).

1. Начнем с преобразования косинуса в квадрат синуса. Так как \(\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta\), подставим это в уравнение: \(3 \sin \left(\frac{5}{6} \pi x \right) = 2 \left(1 - \sin^2 \left(\frac{5}{6} \pi x \right)\right)\).

2. Теперь у нас получится: \(3 \sin \left(\frac{5}{6} \pi x \right) = 2 - 2 \sin^2 \left(\frac{5}{6} \pi x \right)\).

3. Перепишем это уравнение: \(2 \sin^2 \left(\frac{5}{6} \pi x \right) + 3 \sin \left(\frac{5}{6} \pi x \right) - 2 = 0\).

4. Обозначим \( y = \sin \left(\frac{5}{6} \pi x \right) \), тогда уравнение становится квадратным: \(2y^2 + 3y - 2 = 0\).

5. Решим это квадратное уравнение через дискриминант. \(D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25\).

6. Теперь найдем корни: \( y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 + 5}{4} = \frac{2}{4} = 0.5\), \( y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 - 5}{4} = \frac{-8}{4} = -2\).

Поскольку синус может быть только в пределах от -1 до 1, остаётся \( y = 0.5 \).

7. Тогда наше уравнение сведется к: \( \sin \left(\frac{5}{6} \pi x \right) = 0.5\).

8. Известно, что \(\sin(\pi/6) = 0.5\). Тогда: \(\frac{5}{6} \pi x = \pi/6 + 2k\pi\) или \(\frac{5}{6} \pi x = \pi - \pi/6 + 2k\pi\).

9. Найдем \(x\): \(\frac{5}{6} \pi x = \pi/6 + 2k\pi\) => \( x = \frac{1}{5} + \frac{12k}{5} \).

\(\frac{5}{6} \pi x = 5\pi/6 + 2k\pi\) => \( x = \frac{5}{5} + \frac{12k}{5}\) => \(x = 1+\frac{12k}{5}\).

Берем минимальное положительное значение: x = 1/5 (k = 0).

Ответ: 0.2 (наименьшее положительное решение в виде десятичной дроби).