Й

Привет! Давай вместе решим эту задачу.

Тебе нужно вычислить предел функции: \[ \lim_{x \to 4} \frac{x^2 - 64}{x^2 - 16} \]

Шаг 1: Подставим значение \( x = 4 \). Но при подстановке \( x = 4 \) и в числителе, и в знаменателе получится ноль: \[ \frac{4^2 - 64}{4^2 - 16} = \frac{16 - 64}{16 - 16} = \frac{-48}{0} \]

Тут мы видим неопределённость вида \(\frac{0}{0}\).

Шаг 2: Попробуем упростить выражение. Разложим числитель и знаменатель на множители: \[ x^2 - 64 = (x - 8)(x + 8) \] \[ x^2 - 16 = (x - 4)(x + 4) \]

Тогда выражение принимает вид: \[ \frac{(x - 8)(x + 8)}{(x - 4)(x + 4)} \]

Шаг 3: Сократим общий множитель: \[ \frac{(x - 8)(x + 8)}{(x - 4)(x + 4)} = \frac{(x - 8)}{(x - 4)} \cdot \frac{(x + 8)}{(x + 4)} \]

Шаг 4: Подставим \( x = 4 \) в упрощённое выражение: \[ \frac{(4 - 8)}{(4 - 4)} \cdot \frac{(4 + 8)}{(4 + 4)} = \frac{-4}{0} \cdot \frac{12}{8} = \text{undefined} \]

Шаг 5: Однако, предел можно упростить до: \[ \frac{(x - 8)}{(x - 4)} \cdot \frac{(x + 8)}{(x + 4)} = \left(\frac{x + 8}{x + 4}\right)\]

Таким образом предел: \[ \lim_{x \to 4} \frac{x + 8}{x + 4} = \frac{4 + 8}{4 + 4} = \frac{12}{8} = 1.5 \]

Ответ: [ Ответ: 1.5 \ ]