Вычислить √11 ctgx если cos x=5/6 3п/2

Чтобы вычислить \( \sqrt{11} \cdot \cot x \), где \( \cos x = \frac{5}{6} \) и \( \frac{3\pi}{2} < x < 2\pi \), начнем с определения некоторых тригонометрических значений.

1. Находим \( \sin x \): С использованием основного тригонометрического тождества: \[ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \] Подставляем \( \cos x \): \[ \sin^2 x + \left(\frac{5}{6}\right)^2 = 1 \] \[ \sin^2 x + \frac{25}{36} = 1 \] \[ \sin^2 x = 1 - \frac{25}{36} = \frac{36}{36} - \frac{25}{36} = \frac{11}{36} \] Теперь извлекаем квадратный корень: \[ \sin x = \pm \sqrt{\frac{11}{36}} = \pm \frac{\sqrt{11}}{6} \] Так как \( \frac{3\pi}{2} < x < 2\pi \) (четвертый квадрант), \( \sin x \) будет отрицательным: \[ \sin x = -\frac{\sqrt{11}}{6} \]

2. Находим \( \cot x \): Котангенс определяется как: \[ \cot x = \frac{\cos x}{\sin x} \] Подставляем известные значения: \[ \cot x = \frac{\frac{5}{6}}{-\frac{\sqrt{11}}{6}} = -\frac{5}{\sqrt{11}} \]

3. Теперь подставим в изначальное выражение: \[ \sqrt{11} \cdot \cot x = \sqrt{11} \cdot \left(-\frac{5}{\sqrt{11}}\right) = -5 \]

Таким образом, ответ: \[ \sqrt{11} \cdot \cot x = -5 \]