й

Привет! Давай вместе решим эту задачу.

Нам нужно найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций \( y = 2x^2 \) и \( y = 9 - 6x - x^2 \).

1. Для начала определим точки пересечения этих функций. Приравняем их друг к другу: \( 2x^2 = 9 - 6x - x^2 \).

2. Приведем уравнение к стандартному виду: \( 2x^2 + x^2 + 6x - 9 = 0 \), то есть \( 3x^2 + 6x - 9 = 0 \).

3. Разделим все члены уравнения на 3: \( x^2 + 2x - 3 = 0 \).

4. Решим квадратное уравнение \( x^2 + 2x - 3 = 0 \). Найдем корни этого уравнения, используя дискриминант: \( D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16 \), \( x_1 = \frac{-2 + \sqrt{16}}{2} = 1 \), \( x_2 = \frac{-2 - \sqrt{16}}{2} = -3 \).

5. Теперь вычислим интегралы для нахождения площади между этими кривыми от \( x = -3 \) до \( x = 1 \).

   \[ \int_{-3}^{1} ((9 - 6x - x^2) - (2x^2)) \, dx. \]

6. Упростим подынтегральную функцию: \[ 9 - 6x - x^2 - 2x^2 = 9 - 6x - 3x^2. \]

7. Проинтегрируем это выражение от \( x = -3 \) до \( x = 1 \): \[ \int_{-3}^{1} (9 - 6x - 3x^2) \, dx. \]

8. Найдем первообразные функций: \[ \left[ 9x - 3x^2 - x^3 \right]_{-3}^{1}. \]

9. Вычислим значения первообразной на верхнем и нижнем пределах: \[ \left[ 9(1) - 3(1)^2 - (1)^3 \right] - \left[ 9(-3) - 3(-3)^2 - (-3)^3 \right], \] \[ (9 - 3 - 1) - ( -27 - 27 + 27), \] \[ 5 - (-27) = 32. \]

Итак, площадь фигуры равна 32.