Е

Привет! Давай решим эту задачу вместе.

Нам нужно найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций \( y = 2x^2 \) и \( y = 9 - 6x - x^2 \). Для начала нужно определить точки пересечения этих графиков. Это можно сделать, приравняв \( 2x^2 \) и \( 9 - 6x - x^2 \).

Шаг 1: Найдём точки пересечения: \( 2x^2 = 9 - 6x - x^2 \)

Приведём уравнение к стандартному виду: \( 2x^2 + x^2 + 6x - 9 = 0 \) \( 3x^2 + 6x - 9 = 0 \)

Шаг 2: Решим это квадратное уравнение. Для решения квадратного уравнения \( ax^2 + bx + c = 0 \) можно использовать дискриминант: \( D = b^2 - 4ac \)

Наши коэффициенты: \( a = 3 \), \( b = 6 \), \( c = -9 \). Подставляя эти значения, найдём дискриминант: \( D = 6^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-9) \) \( D = 36 + 108 \) \( D = 144 \)

Теперь найдём корни уравнения: \( x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \) \( x = \frac{-6 \pm \sqrt{144}}{6} \) \( x = \frac{-6 \pm 12}{6} \)

Получим два корня: \( x_1 = 1 \), \( x_2 = -3 \)

Значит, точки пересечения - это \( x = 1 \) и \( x = -3 \).

Шаг 3: Теперь нужно найти площадь фигуры. Для этого нам нужно интегрировать разность функций от -3 до 1: \[ \int_{-3}^{1} ((9 - 6x - x^2) - (2x^2)) \, dx \]

Просто посчитаем разность функций: \( 9 - 6x - x^2 - 2x^2 = 9 - 6x - 3x^2 \)

Значит, мы будем интегрировать выражение \( 9 - 6x - 3x^2 \).

Шаг 4: Интегрирование: \[ \int (9 - 6x - 3x^2) \, dx = 9x - \frac{6x^2}{2} - \frac{3x^3}{3} \] \[ = 9x - 3x^2 - x^3 \]

Подставим пределы интегрирования: \[ \left[9x - 3x^2 - x^3\right]_{-3}^{1} = (9(1) - 3(1)^2 - (1)^3) - (9(-3) - 3(-3)^2 - (-3)^3) = (9 - 3 - 1) - (-27 - 27 + 27) = 5 - (-27) = 32 \]

Ответ: 32.0