Дано уравнение \( \sin(2x) + \cos(x) = 0 \). Найдите все значения \( x \) на интервале \( [0; 2\pi] \), при которых выполняется это уравнение
Чтобы решить уравнение \( \sin(2x) + \cos(x) = 0 \), начнем с преобразования функции синуса:
Используем формулу для двойного угла: \[ \sin(2x) = 2 \sin(x) \cos(x). \] Подставим это в уравнение:
\[ 2 \sin(x) \cos(x) + \cos(x) = 0. \]
Теперь вынесем \(\cos(x)\) за скобки:
\[ \cos(x) (2 \sin(x) + 1) = 0. \]
Решим это уравнение, рассматривая каждую из частей:
- \(\cos(x) = 0\).
Это уравнение выполняется, когда: \[ x = \frac{\pi}{2} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}. \] На интервале \( [0; 2\pi] \) это дает решения: \[ x = \frac{\pi}{2} \quad \text{и} \quad x = \frac{3\pi}{2}. \]
- \(2 \sin(x) + 1 = 0\).
Решая это уравнение, получаем: \[ 2 \sin(x) = -1 \quad \Rightarrow \quad \sin(x) = -\frac{1}{2}. \]
Значения \(x\) для \(\sin(x) = -\frac{1}{2}\) на интервале \( [0; 2\pi] \) находятся в третьем и четвертом квадранте: \[ x = \frac{7\pi}{6} \quad \text{и} \quad x = \frac{11\pi}{6}. \]
Теперь соберем все найденные значения \(x\):
- \(x = \frac{\pi}{2}\)
- \(x = \frac{3\pi}{2}\)
- \(x = \frac{7\pi}{6}\)
- \(x = \frac{11\pi}{6}\)
Таким образом, все значения \(x\) на интервале \( [0; 2\pi] \), удовлетворяющие уравнению \( \sin(2x) + \cos(x) = 0 \): \[ x = \frac{\pi}{2}, \quad x = \frac{3\pi}{2}, \quad x = \frac{7\pi}{6}, \quad x = \frac{11\pi}{6}. \]
