|x-1|+|x+7|=8
Для решения уравнения \(|x - 1| + |x + 7| = 8\), нам нужно рассмотреть различные случаи в зависимости от значений \(x\), так как абсолютные значения меняются при пересечении определенных точек.
Вычислим ключевые точки:
Абсолютные значения \(|x - 1|\) и \(|x + 7|\) меняют свое значение в точках \(x = 1\) и \(x = -7\). Эти точки разбивают ось на три интервала:
- \(x < -7\)
- \(-7 \leq x < 1\)
- \(x \geq 1\)
Рассмотрим случаи:
Случай 1: \(x < -7\) В этом случае \(|x - 1| = -(x - 1) = -x + 1\) и \(|x + 7| = -(x + 7) = -x - 7\). Подставляем в уравнение: \[ -x + 1 - x - 7 = 8 \] Упрощаем: \[ -2x - 6 = 8 \] \[ -2x = 14 \] \[ x = -7 \] Поскольку \(-7\) не удовлетворяет условию \(x < -7\), этот случай не дает решения.
Случай 2: \(-7 \leq x < 1\) Здесь \(|x - 1| = -(x - 1) = -x + 1\) и \(|x + 7| = x + 7\). Подставим в уравнение: \[ -x + 1 + x + 7 = 8 \] Упрощаем: \[ 8 = 8 \] Это равенство всегда справедливо, значит, в этом интервале любое значение \(x\) от \(-7\) до \(1\) будет решением.
Случай 3: \(x \geq 1\) В данном случае \(|x - 1| = x - 1\) и \(|x + 7| = x + 7\). Подставляем в уравнение: \[ x - 1 + x + 7 = 8 \] Упрощаем: \[ 2x + 6 = 8 \] \[ 2x = 2 \] \[ x = 1 \] Это значение также удовлетворяет условию \(x \geq 1\).
Итоговые решения: Таким образом, общее множество решений: \(x \in [-7, 1]\).
Если у вас есть дополнительные вопросы по решению или другим темам, с удовольствием помогу!
