18х2<27х-4

Решим неравенство \( 18x^2 < 27x - 4 \).

1. Сначала перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить стандартный вид неравенства: \[ 18x^2 - 27x + 4 < 0. \]

2. Теперь найдем корни квадратного уравнения \( 18x^2 - 27x + 4 = 0 \) с помощью дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = (-27)^2 - 4 \cdot 18 \cdot 4 = 729 - 288 = 441. \]

3. Так как дискриминант положителен, уравнение имеет два различных корня. Найдем их: \[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{27 + 21}{36} = \frac{48}{36} = \frac{4}{3}, \] \[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{27 - 21}{36} = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}. \]

4. Теперь у нас есть корни \( x_1 = \frac{4}{3} \) и \( x_2 = \frac{1}{6} \). Мы можем нарисовать число на числовой прямой и определить интервалы:

   • Интересующие нас интервалы: \( (-\infty; \frac{1}{6}) \), \( (\frac{1}{6}; \frac{4}{3}) \), и \( (\frac{4}{3}; +\infty) \).

5. Проверим знак неравенства в каждом интервале. Для этого выберем тестовые точки из каждого интервала и подставим их в неравенство \( 18x^2 - 27x + 4 \):

   • Для \( x = 0 \) (интервал \( (-\infty; \frac{1}{6}) \)): \[ 18(0)^2 - 27(0) + 4 = 4 > 0. \]
   • Для \( x = 1 \) (интервал \( (\frac{1}{6}; \frac{4}{3}) \)): \[ 18(1)^2 - 27(1) + 4 = 18 - 27 + 4 = -5 < 0. \]
   • Для \( x = 2 \) (интервал \( (\frac{4}{3}; +\infty) \)): \[ 18(2)^2 - 27(2) + 4 = 72 - 54 + 4 = 22 > 0. \]

6. Из результатов видно, что неравенство \( 18x^2 - 27x + 4 < 0 \) выполняется только в интервале \( \left( \frac{1}{6}, \frac{4}{3} \right) \).

Таким образом, решение неравенства: \[ \boxed{\left( \frac{1}{6}, \frac{4}{3} \right)}. \]