в арифметической прогрессии сумма третьего и седьмого членов равна десяти. найдите сумму девяти первых членов прогрессии

В арифметической прогрессии сумма третьего и седьмого членов равна десяти. Давайте обозначим первый член прогрессии как \( a \), а разность прогрессии как \( d \).

Сумма третьего и седьмого членов можно выразить следующим образом:

• Третий член: \( a_3 = a + 2d \)
• Седьмой член: \( a_7 = a + 6d \)

Теперь можем записать уравнение для их суммы:

\[ a_3 + a_7 = (a + 2d) + (a + 6d) = 2a + 8d = 10 \]

Это уравнение мы можем переписать как:

\[ 2a + 8d = 10 \]

Теперь упростим его, разделив на 2:

\[ a + 4d = 5 \quad (1) \]

Теперь нам нужно найти сумму первых девяти членов арифметической прогрессии. Сумма первых \( n \) членов арифметической прогрессии может быть найдена по формуле:

\[ S_n = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n) \]

Для первых девяти членов это будет:

\[ S_9 = \frac{9}{2} \cdot (a + a_9) \]

Где \( a_9 = a + 8d \) (девятый член):

Подставим его в формулу для суммы:

\[ S_9 = \frac{9}{2} \cdot (a + (a + 8d)) = \frac{9}{2} \cdot (2a + 8d) \]

Теперь выразим сумму, используя уравнение (1):

\[ S_9 = \frac{9}{2} \cdot (2(a + 4d)) = \frac{9}{2} \cdot (2 \cdot 5) = \frac{9}{2} \cdot 10 \]

Упрощая, получаем:

\[ S_9 = \frac{9 \cdot 10}{2} = \frac{90}{2} = 45 \]

Таким образом, сумма первых девяти членов арифметической прогрессии равна 45.