Разность корней квадратного уравнения x2-12x+q=0 равна 2. Найдите q.
Чтобы решить задачу, начнем с того, что знаем о корнях квадратного уравнения. Обозначим корни уравнения \( x_1 \) и \( x_2 \). По условию, их разность равна 2:
\[ x_1 - x_2 = 2 \]
Также для любого квадратного уравнения \( ax^2 + bx + c = 0 \) выполняются следующие соотношения для корней:
- Сумма корней: \( S = x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \)
- Произведение корней: \( P = x_1 x_2 = \frac{c}{a} \)
В нашем случае уравнение имеет вид:
\[ x^2 - 12x + q = 0 \]
Здесь \( a = 1 \), \( b = -12 \), и \( c = q \). Таким образом, имеем:
\[ S = x_1 + x_2 = 12 \] \[ P = x_1 x_2 = q \]
Теперь можем выразить один корень через другой, используя разность:
\[ x_1 = x_2 + 2 \]
Подставим выражение для \( x_1 \) в уравнение суммы корней:
\[ (x_2 + 2) + x_2 = 12 \] \[ 2x_2 + 2 = 12 \] \[ 2x_2 = 10 \] \[ x_2 = 5 \]
Теперь можем найти \( x_1 \):
\[ x_1 = x_2 + 2 = 5 + 2 = 7 \]
Теперь, зная корни \( x_1 \) и \( x_2 \), можем найти произведение корней, которое равно \( q \):
\[ P = x_1 x_2 = 7 \times 5 = 35 \]
Таким образом, \( q = 35 \).
Ответ: \( q = 35 \).
