На грань кристалла никеля падает параллельный пучок электронов. Кристалл поворачивают так, что угол скольжения ϑ изменяется. Когда этот угол делается равным 64°, наблюдается максимальное отражение электронов, соответствующее дифракционному максимуму первого порядка. Принимая расстояние d между атомными плоскостями кристалла равным 200 пм, определить длину волны де Бройля λ электронов и их скорость V

Для решения этой задачи необходимо использовать уравнение Брегга, которое связывает длину волны, угол дифракции и расстояние между плоскостями кристаллической решетки.

Уравнение Брегга имеет следующий вид:

\[ n \lambda = 2d \sin(\theta) \]

где:

• \( n \) — порядок дифракции (в нашем случае, первый порядок, следовательно \( n = 1 \)),
• \( \lambda \) — длина волны,
• \( d \) — расстояние между атомными плоскостями кристалла (в данном случае, \( d = 200 \ \text{pm} = 200 \times 10^{-12} \ m \)),
• \( \theta \) — угол дифракции (в данном случае, \( \theta = 64° \)).

Сначала преобразуем уравнение Брегга для нахождения длины волны:

\[ \lambda = \frac{2d \sin(\theta)}{n} \]

Теперь подставим известные значения:

1. Преобразуем угол \( \theta \) в радианы:

   \[ \theta = 64° = \frac{64 \times \pi}{180} \approx 1.117 \ \text{рад} \]

2. Затем вычислим \( \sin(64°) \):

   \[ \sin(64°) \approx 0.8988 \]

3. Подставим значения в уравнение:

\[ \lambda = \frac{2 \cdot (200 \times 10^{-12} \ m) \cdot 0.8988}{1} \approx 358.4 \times 10^{-12} \ m = 358.4 \ \text{pm} \]

Теперь, чтобы найти скорость электронов \( V \), используем формулу де Бройля, которая связывает длину волны с импульсом частицы:

\[ \lambda = \frac{h}{p} \]

где \( h \) — постоянная Планка (\( h \approx 6.626 \times 10^{-34} \ J \cdot s \)) и \( p \) — импульс, который можно выразить через массу и скорость:

\[ p = mv \]

Следовательно, можем записать:

\[ \lambda = \frac{h}{mv} \]

или

\[ v = \frac{h}{m \lambda} \]

Зная массу электрона (\( m \approx 9.11 \times 10^{-31} \ kg \)), подставим все значения:

\[ v = \frac{6.626 \times 10^{-34} \ J \cdot s}{(9.11 \times 10^{-31} \ kg) \cdot (358.4 \times 10^{-12} \ m)} \]

Вычислим \( v \):

1. Сначала найдем произведение массы электрона и длины волны:

   \[ (9.11 \times 10^{-31} \ kg) \cdot (358.4 \times 10^{-12} \ m) \approx 3.258 \times 10^{-42} \ kg \cdot m \]

2. Затем рассчитаем скорость:

\[ v \approx \frac{6.626 \times 10^{-34}}{3.258 \times 10^{-42}} \approx 2.03 \times 10^{8} \ m/s \]

Таким образом, длина волны де Бройля электронов составляет примерно \( 358.4 \ \text{pm} \), а их скорость — около \( 2.03 \times 10^{8} \ m/s \).