2x²-5x+2:x+4≥0

Чтобы решить неравенство \( \frac{2x^2 - 5x + 2}{x + 4} \geq 0 \), следуйте следующим шагам:

1. Найти значение числителя: Решите квадратное уравнение \( 2x^2 - 5x + 2 = 0 \) с помощью дискриминанта. \[ D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9. \] Поскольку дискриминант положительный, уравнение имеет два различных корня. Найдите корни по формуле: \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 \pm 3}{4}. \] Это дает: \[ x_1 = \frac{8}{4} = 2, \quad x_2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}. \]

2. Запишите числитель в виде множителей: Таким образом, \( 2x^2 - 5x + 2 = 2(x - 2)(x - \frac{1}{2}) \).

3. Идентифицируйте нули числителя и знаменателя: Числитель равен нулю при \( x = 2 \) и \( x = \frac{1}{2} \). Знаменатель равен нулю при \( x = -4 \).

4. Постройте числовую прямую и отметьте найденные значения:

   • \(-4\)
   • \(\frac{1}{2}\)
   • \(2\)

5. Определите знаки выражения на интервалы:

   • Для \( x < -4 \), например \( x = -5 \): \(\frac{2(-5)^2 - 5(-5) + 2}{-5 + 4} > 0\).
   • Для \( -4 < x < \frac{1}{2} \): Например, \( x = 0 \): \(\frac{2(0) - 5(0) + 2}{0 + 4} > 0\).
   • Для \( \frac{1}{2} < x < 2 \): Например, \( x = 1 \): \(\frac{2(1)^2 - 5(1) + 2}{1 + 4} < 0\).
   • Для \( x > 2 \): Например, \( x = 3 \): \(\frac{2(3)^2 - 5(3) + 2}{3 + 4} > 0\).

6. Записываем решение неравенства:

   • На интервалах \( (-\infty, -4) \cup \left(\frac{1}{2}, 2\right] \cup (2, +\infty) \) выражение положительное или равно нулю в точках \(\frac{1}{2}\) и \(2\).
   • Не включаем \( x = -4 \), так как это приводит к делению на ноль.

Таким образом, решением неравенства будет: \[ x \in (-\infty, -4) \cup \left[\frac{1}{2}, 2\right] \cup (2, +\infty). \]