Из точки M окружности опущен перпендикуляр MF на её диаметр DE, DM = √70 см. Найдите радиус окружности, если отрезок DF на 4 см меньше отрезка FE
Чтобы решить эту задачу, давайте сначала представим окружность и все обозначения.
- У нас есть круг с диаметром DE.
- MF – перпендикуляр, опущенный из точки M на диаметр DE.
- DM = √70 см.
- Дано, что отрезок DF на 4 см меньше отрезка FE.
Поскольку DM – это расстояние от точки M до точки D, в данном случае DM будет радиусом окружности, если точка M находится непосредственно над диаметром DE. Но нам нужно определить радиус окружности, используя данное соотношение между отрезками DF и FE.
Обозначим:
- DF = x см
- FE = x + 4 см
Длина всего диаметра DE равна DF + FE. Тогда мы можем записать: \[ DE = DF + FE = x + (x + 4) = 2x + 4 \]
На основании теоремы о перпендикуляре, проведённом из точки на окружности к диаметру, мы знаем, что квадрат радиуса окружности равен произведению отрезков, на которые диаметр делится. Поэтому: \[ DM^2 = DF \cdot FE = x \cdot (x + 4) \]
Теперь мы знаем, что DM = √70, следовательно: \[ DM^2 = 70 \] Итак, мы можем записать уравнение: \[ 70 = x \cdot (x + 4) \]
Это уравнение можно упростить: \[ 70 = x^2 + 4x \] \[ x^2 + 4x - 70 = 0 \]
Теперь решим это квадратное уравнение. Для этого используем дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-70) = 16 + 280 = 296 \]
Теперь найдем корни уравнения: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 \pm \sqrt{296}}{2} \]
Вычислим √296: \[ \sqrt{296} \approx 17.2 \]
Теперь подставим значение дискриминанта обратно: \[ x \approx \frac{-4 \pm 17.2}{2} \]
Получаем два корня:
- \( x_1 \approx \frac{13.2}{2} \approx 6.6 \)
- \( x_2 \approx \frac{-21.2}{2} \) (отрицательный корень не имеет смысла в нашем контексте)
Следовательно, DF = 6.6 см, а FE = DF + 4 = 10.6 см.
Теперь давайте найдем радиус окружности, который равен длине отрезка DE, деленному на 2: \[ DE = DF + FE = 6.6 + 10.6 = 17.2 \text{ см} \] \[ R = \frac{DE}{2} = \frac{17.2}{2} = 8.6 \text{ см} \]
Таким образом, радиус окружности равен 8.6 см.
