Вот выделенные грамматические основы и указанные инфинитивы с их функциями в предложении:
В Москве - я не буду (глагол-сказуемое) ни видеть (инфинитив, прямое дополнение) вас, ни писать (инфинитив, прямое дополнение) вам, ни звонить (инфинитив, прямое дополнение).
Редкие капли - начали (глагол-сказуемое) тяжело стучать (инфинитив, обстоятельство) по земле.
Долго - будет (глагол-сказуемое) моросить (инфинитив, сказуемое).
И будто в ответ на её слова - по реке и кустам тихонечко начинает (глагол-сказуемое) шуметь (инфинитив, обстоятельство) редкий и тёплый дождь.
Зловещие слухи - стали (глагол-сказуемое) носиться (инфинитив, обстоятельство).
Они - продолжали (глагол-сказуемое) целые десятки лет сопеть (инфинитив, прямое дополнение), дремать (инфинитив, прямое дополнение) и зева́ть (инфинитив, прямое дополнение).
Море временами - совсем (предлог) переставало (глагол-сказуемое) шуметь (инфинитив, обстоятельство).
А пурга - не хотела (глагол-сказуемое) униматься (инфинитив, обстоятельство), словно издеваясь.
Антоненко - приказал (глагол-сказуемое) людям покинуть (инфинитив, прямое дополнение) баржу.
Я - не позволю (глагол-сказуемое) в своём присутствии плохо отзываться (инфинитив, прямое дополнение) о жизни.
Завтракать (инфинитив, подлежащее) к Наталье Тагилов - не пошёл (глагол-сказуемое).
Она - даже не успела (глагол-сказуемое) поздороваться (инфинитив, прямое дополнение) с ним.
Надеюсь, это поможет в вашей подготовке к экзаменам!