1°. Решите уравнение: a) 3x2+ 8x - 3= 0; 6) 6x* - 3x = 0; в) 25x* = 81; г) x* - 22x + 21 = 0. 2. Периметр прямоугольника равен 34 см, а его площадь 60 смл. Найдите длины сторон…

Давайте решим все предложенные уравнения и задачи по очереди.

1. Решите уравнение:

a) \(3x^2 + 8x - 3 = 0\)

Используем формулу квадратичного уравнения:
\(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)

где \(a = 3\), \(b = 8\), \(c = -3\).

Дискриминант:
\(D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-3) = 64 + 36 = 100\).

Корни:
\(x = \frac{-8 \pm \sqrt{100}}{2 \cdot 3} = \frac{-8 \pm 10}{6}\).

1-й корень:
\(x_1 = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\).

2-й корень:
\(x_2 = \frac{-18}{6} = -3\).

Ответ: \(x_1 = \frac{1}{3}, x_2 = -3\).

б) \(6x^2 - 3x = 0\)

Вынесем общий множитель:
\(3x(2x - 1) = 0\).

Корни:
\(3x = 0 \Rightarrow x = 0\),
\(2x - 1 = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{2}\).

Ответ: \(x_1 = 0, x_2 = \frac{1}{2}\).

в) \(25x^2 = 81\)

Переносим все в одну сторону:
\(25x^2 - 81 = 0\).

Это уравнение можно записать в виде разности квадратов:
\((5x)^2 - 9^2 = 0\).

Корни:
\(5x - 9 = 0 \Rightarrow x = \frac{9}{5}\),
\(5x + 9 = 0 \Rightarrow x = -\frac{9}{5}\).

Ответ: \(x_1 = \frac{9}{5}, x_2 = -\frac{9}{5}\).

г) \(x^2 - 22x + 21 = 0\)

Дискриминант:
\(D = (-22)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 21 = 484 - 84 = 400\).

Корни:
\(x = \frac{22 \pm \sqrt{400}}{2} = \frac{22 \pm 20}{2}\).

1-й корень:
\(x_1 = \frac{42}{2} = 21\).

2-й корень:
\(x_2 = \frac{2}{2} = 1\).

Ответ: \(x_1 = 21, x_2 = 1\).

2. Найдите длины сторон прямоугольника:

Периметр \(P = 34\) см и площадь \(S = 60\) см².

Пусть стороны прямоугольника — \(x\) и \(y\). Система уравнений:

1. \(2(x + y) = 34 \Rightarrow x + y = 17\)
2. \(xy = 60\)

Решим систему: Используем первое уравнение:
\(y = 17 - x\).

Подставим во второе уравнение: \(x(17 - x) = 60\).

Перепишем: \(17x - x^2 - 60 = 0\).

Переписываем в стандартную форму: \(x^2 - 17x + 60 = 0\).

Дискриминант: \(D = 17^2 - 4 \cdot 1 \cdot 60 = 289 - 240 = 49\).

Корни: \(x = \frac{17 \pm \sqrt{49}}{2} = \frac{17 \pm 7}{2}\).

1-й корень: \(x_1 = \frac{24}{2} = 12\).

2-й корень: \(x_2 = \frac{10}{2} = 5\).

Таким образом, длины сторон: \(12\) см и \(5\) см.

3. Разложите на множители квадратный трехчлен:

1) \(x^2 - 30\)

Это разность квадратов: \(x^2 - 30 = (x - \sqrt{30})(x + \sqrt{30})\).

2) \(2x^2 - 9\)

Это также можно записать как разность квадратов: \(2x^2 - 9 = \sqrt{2}(x - \frac{3}{\sqrt{2}})(x + \frac{3}{\sqrt{2}})\). Или, можно записать так:
\(2(x^2 - \frac{9}{2}) = 2(x - \frac{3}{\sqrt{2}})(x + \frac{3}{\sqrt{2}})\).

4. Сократите дробь:

\(\frac{x^2 - 11x - 4}{x^2 - 16}\)

Разложение на множители: \(x^2 - 16 = (x - 4)(x + 4)\).

Для \(x^2 - 11x - 4\) найдем корни. Решаем уравнение: \(x^2 - 11x - 4 = 0\).

Дискриминант: \(D = (-11)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 121 + 16 = 137\).

Корни: \(x = \frac{11 \pm \sqrt{137}}{2}\).

Вряд ли у этого много общего с знаменателем, так что дробь не сокращается.

5. Решите уравнение:

\(x^2 - 15x - 16 = 0\)

Дискриминант: \(D = (-15)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-16) = 225 + 64 = 289\).

Корни: \(x = \frac{15 \pm \sqrt{289}}{2} = \frac{15 \pm 17}{2}\).

1-й корень: \(x_1 = \frac{32}{2} = 16\).

2-й корень: \(x_2 = \frac{-2}{2} = -1\).

Ответ: \(x_1 = 16, x_2 = -1\).

Если у вас есть дополнительные вопросы или еще задачи, задавайте!