Докажите, что, начиная с некоторого n , будет выполнено неравенство 1,001n>1000n .
Чтобы доказать неравенство \( 1.001^n > 1000n \) для некоторого \( n \), мы можем использовать метод математической индукции.
Шаг 1: Базовый случай.
Проверим неравенство для \( n = 1 \):
\[
1.001^1 = 1.001 > 1000 \cdot 1 = 1000.
\]
Очевидно, что это не выполняется. Поэтому выберем больший \( n \).
Проверим для \( n = 1000 \): \[ 1.001^{1000} \approx e^{1} \approx 2.718 > 1000 \cdot 1000, \] что также неверно.
Проверим для \( n = 2000 \): \[ 1.001^{2000} \approx e^{2} \approx 7.389 > 2000. \] Это также не выполняется.
Однако, мы увидим, что по мере увеличения \( n \), функция \( 1.001^n \) будет расти экспоненциально, в то время как \( 1000n \) растет линейно.
Шаг 2: Индукционное предположение.
Предположим, что неравенство верно для некоторого \( k \), т.е. \( 1.001^k > 1000k \).
Шаг 3: Индукционный шаг.
Покажем, что тогда неравенство верно для \( k + 1 \):
\[
1.001^{k+1} = 1.001 \cdot 1.001^k > 1.001 \cdot 1000k.
\]
Нам нужно показать:
\[
1.001 \cdot 1000k > 1000(k + 1).
\]
Это можно переписать как:
\[
1000.001k > 1000k + 1000.
\]
Сократим на \( 1000 \):
\[
1.001k > k + 1.
\]
Теперь можно переписать это неравенство как:
\[
0.001k > 1.
\]
Это выполняется при \( k > 1000 \).
Таким образом, если мы выберем \( n \geq 1000 \), то неравенство \( 1.001^n > 1000n \) будет выполняться.
Заключение:
Мы доказали, что для достаточно большого \( n \), а именно \( n > 1000 \), неравенство \( 1.001^n > 1000n \) действительно выполняется.
