На грань кристалла никеля падает параллельный пучок электронов. Кристалл поворачивают так, что угол скольжения ϑ изменяется. Когда этот угол делается равным 64°, наблюдается максимальное отражение электронов, соответствующее дифракционному максимуму первого порядка. Принимая расстояние d между атомными плоскостями кристалла равным 200 пм, определить длину волны де Бройля λ электронов и их скорость v.

Question 1

Задача Задача №1328538

А

Аноним

25 августа 2024 17:25 · публичный вопрос

А

Аноним 25 августа 2024 17:25

На грань кристалла никеля падает параллельный пучок электронов. Кристалл поворачивают так, что угол скольжения ϑ изменяется. Когда этот угол делается равным 64°, наблюдается максимальное отражение электронов, соответствующее дифракционному максимуму первого порядка. Принимая расстояние d между атомными плоскостями кристалла равным 200 пм, определить длину волны де Бройля λ электронов и их скорость v.

Answer

Для решения данной задачи воспользуемся уравнением Брэгга, которое связывает угол дифракции, расстояние между плоскостями кристаллической решётки и длину волны.

Уравнение Брэгга записывается следующим образом:

\[ n \cdot \lambda = 2 \cdot d \cdot \sin(\theta) \]

где:

\( n \) — порядок дифракции (в нашем случае \( n = 1 \)),
\( \lambda \) — длина волны де Бройля,
\( d \) — расстояние между атомными плоскостями кристалла (в данном случае \( d = 200 \, \text{pm} = 200 \times 10^{-12} \, \text{м} \)),
\( \theta \) — угол дифракции (в данном случае \( \theta = 64^\circ \)).

Подставим значения в формулу. Таким образом, у нас получается:

\[ \lambda = \frac{2 \cdot d \cdot \sin(\theta)}{n} = 2 \cdot (200 \times 10^{-12} \, \text{м}) \cdot \sin(64^\circ) \]

Сначала посчитаем \( \sin(64^\circ) \):

\[ \sin(64^\circ) \approx 0.8988 \]

Теперь подставим это значение в уравнение:

\[ \lambda = 2 \cdot (200 \times 10^{-12}) \cdot 0.8988 \approx 2 \cdot 200 \cdot 0.8988 \times 10^{-12} \approx 359.52 \times 10^{-12} \, \text{м} = 359.52 \, \text{пм} \]

Теперь мы нашли длину волны де Бройля \( \lambda \approx 359.52 \, \text{пм} \).

Следующим шагом, чтобы найти скорость электронов \( v \), воспользуемся уравнением де Бройля, которое связывает длину волны и скорость частицы:

\[ \lambda = \frac{h}{p} \]

где \( h \) — постоянная Планка (\( h = 6.626 \times 10^{-34} \, \text{Дж} \cdot \text{с} \)), а \( p = m \cdot v \) — импульс электрона. Таким образом, можем записать как:

\[ \lambda = \frac{h}{m \cdot v} \]

где \( m \) — масса электрона (\( m \approx 9.11 \times 10^{-31} \, \text{кг} \)). Перепишем уравнение, чтобы найти \( v \):

\[ v = \frac{h}{m \cdot \lambda} \]

Теперь подставим известные нам значения:

\[ v = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{9.11 \times 10^{-31} \cdot 359.52 \times 10^{-12}} \]

Выполнив вычисления:

\[ v \approx \frac{6.626 \times 10^{-34}}{3.274 \times 10^{-42}} \approx 2.02 \times 10^{8} \, \text{м/с} \]

Таким образом, скорость электронов \( v \approx 2.02 \times 10^{8} \, \text{м/с} \).

Итак, итоговые результаты:

Длина волны де Бройля \( \lambda \approx 359.52 \, \text{пм} \)
Скорость электронов \( v \approx 2.02 \times 10^{8} \, \text{м/с} \)

Question 2

На грань кристалла никеля падает параллельный пучок электронов. Кристалл поворачивают так, что угол скольжения ϑ изменяется. Когда этот угол делается равным 64°, наблюдается максимальное отражение электронов, соответствующее дифракционному максимуму первого порядка. Принимая расстояние d между атомными плоскостями кристалла равным 200 пм, определить длину волны де Бройля λ электронов и их скорость v.

Answer

Для решения данной задачи воспользуемся уравнением Брэгга, которое связывает угол дифракции, расстояние между плоскостями кристаллической решётки и длину волны. Уравнение Брэгга записывается следующим образом: \[ n \cdot \lambda = 2 \cdot d \cdot \sin(\theta) \] где: - \( n \) — порядок дифракции (в нашем случае \( n = 1 \)), - \( \lambda \) — длина волны де Бройля, - \( d \) — расстояние между атомными плоскостями кристалла (в данном случае \( d = 200 \, \text{pm} = 200 \times 10^{-12} \, \text{м} \)), - \( \theta \) — угол дифракции (в данном случае \( \theta = 64^\circ \)). Подставим значения в формулу. Таким образом, у нас получается: \[ \lambda = \frac{2 \cdot d \cdot \sin(\theta)}{n} = 2 \cdot (200 \times 10^{-12} \, \text{м}) \cdot \sin(64^\circ) \] Сначала посчитаем \( \sin(64^\circ) \): \[ \sin(64^\circ) \approx 0.8988 \] Теперь подставим это значение в уравнение: \[ \lambda = 2 \cdot (200 \times 10^{-12}) \cdot 0.8988 \approx 2 \cdot 200 \cdot 0.8988 \times 10^{-12} \approx 359.52 \times 10^{-12} \, \text{м} = 359.52 \, \text{пм} \] Теперь мы нашли длину волны де Бройля \( \lambda \approx 359.52 \, \text{пм} \). Следующим шагом, чтобы найти скорость электронов \( v \), воспользуемся уравнением де Бройля, которое связывает длину волны и скорость частицы: \[ \lambda = \frac{h}{p} \] где \( h \) — постоянная Планка (\( h = 6.626 \times 10^{-34} \, \text{Дж} \cdot \text{с} \)), а \( p = m \cdot v \) — импульс электрона. Таким образом, можем записать как: \[ \lambda = \frac{h}{m \cdot v} \] где \( m \) — масса электрона (\( m \approx 9.11 \times 10^{-31} \, \text{кг} \)). Перепишем уравнение, чтобы найти \( v \): \[ v = \frac{h}{m \cdot \lambda} \] Теперь подставим известные нам значения: \[ v = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{9.11 \times 10^{-31} \cdot 359.52 \times 10^{-12}} \] Выполнив вычисления: \[ v \approx \frac{6.626 \times 10^{-34}}{3.274 \times 10^{-42}} \approx 2.02 \times 10^{8} \, \text{м/с} \] Таким образом, скорость электронов \( v \approx 2.02 \times 10^{8} \, \text{м/с} \). Итак, итоговые результаты: - Длина волны де Бройля \( \lambda \approx 359.52 \, \text{пм} \) - Скорость электронов \( v \approx 2.02 \times 10^{8} \, \text{м/с} \)