Вершину А квадрата ABCD соединить с серединой стороны BC, вершину В — с серединой стороны CD и т. д. так, что в середине образуется квадрат меньшего размера. а) Определите сторону…

Рассмотрим квадрат ABCD с длиной стороны a. Следуя вашему описанию, мы соединяем вершины квадрата с серединами соответствующих сторон:

1. Вершина A соединяется с серединой стороны BC.
2. Вершина B соединяется с серединой стороны CD.
3. Вершина C соединяется с серединой стороны DA.
4. Вершина D соединяется с серединой стороны AB.

Теперь давайте рассмотрим координаты вершин квадрата ABCD, если поместим его в координатную систему. Предположим:

• A(0, a)
• B(0, 0)
• C(a, 0)
• D(a, a)

Середины сторон будут находиться в следующих точках:

• M1 (0, a/2) — середина BC
• M2 (a/2, 0) — середина CD
• M3 (a, a/2) — середина DA
• M4 (a/2, a) — середина AB

Теперь определим координаты нового квадрата, который образуется в результате соединения этих точек. Вершины нового квадрата будут:

• A' = (0, a/2)
• B' = (a/2, 0)
• C' = (a, a/2)
• D' = (a/2, a)

Теперь давайте найдем длину стороны нового квадрата. Мы можем использовать расстояние между двумя соседними вершинами, например, A' и B':

Длина стороны нового квадрата равна: \[ \sqrt{(a/2 - 0)^2 + (0 - a/2)^2} = \sqrt{(a/2)^2 + (a/2)^2} = \sqrt{2 \cdot (a/2)^2} = \sqrt{2} \cdot \frac{a}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2} \]

Таким образом, длина стороны маленького квадрата составляет \(\frac{a\sqrt{2}}{2}\).

Теперь перейдем ко второй части вопроса:

б) Найдем площадь большого квадрата и маленького квадрата.

Площадь большого квадрата равна: \[ S_{\text{большого}} = a^2 \]

Площадь маленького квадрата, у которого сторона \(\frac{a\sqrt{2}}{2}\), равна: \[ S_{\text{малого}} = \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \frac{2a^2}{4} = \frac{a^2}{2} \]

Теперь определим, какую долю площади маленького квадрата составляет площадь большого квадрата: \[ \text{Доля} = \frac{S_{\text{малого}}}{S_{\text{большого}}} = \frac{\frac{a^2}{2}}{a^2} = \frac{1}{2} \]

Ответы: а) Сторона маленького квадрата равна \(\frac{a\sqrt{2}}{2}\). б) Площадь маленького квадрата составляет \(\frac{1}{2}\) площади большого квадрата.