Neliön ABCD kärkipiste A yhdistetään sivun BC keskipisteeseen, kärki B sivun CD keskipisteeseen jne., niin että keskelle muodostuu pienempi neliö. a) Määritä pikkuneliön sivu, jos koko neliön sivu on a. b) Kuinka monta prosenttia pikkuneliön ala on koko neliön alasta?

Давайте разберемся с данной задачей, шаг за шагом.

а) Пусть большой квадрат ABCD имеет сторону длины a. Мы будем соединять вершину A с серединой стороны BC, вершину B с серединой стороны CD и так далее.

1. Сначала найдем координаты вершин большого квадрата ABCD:

   • A(0, 0)
   • B(a, 0)
   • C(a, a)
   • D(0, a)

2. Теперь найдем середины сторон:

   • Середина стороны BC: M1 = (a, a/2)
   • Середина стороны CD: M2 = (a/2, a)
   • Середина стороны DA: M3 = (0, a/2)
   • Середина стороны AB: M4 = (a/2, 0)

3. Теперь мы можем соединить точки A с M1, B с M2 и так далее, чтобы получить новый квадрат, который будет иметь вершины:

   • Вершина A: (0, 0)
   • Вершина M1: (a, a/2)
   • Вершина M2: (a/2, a)
   • Вершина M3: (0, a/2)

Нам нужно определить длину стороны нового квадрата. Чтобы найти ее, используем теорему Пифагора. Расстояние между M1 и M2 дает нам длину стороны маленького квадрата.

Расстояние M1M2: \[ d = \sqrt{(a/2 - a)^2 + (a - a/2)^2} = \sqrt{(-a/2)^2 + (a/2)^2} = \sqrt{(a^2/4) + (a^2/4)} = \sqrt{(a^2/2)} = \frac{a}{\sqrt{2}} \]

Таким образом, длина стороны маленького квадрат a будет равна \(\frac{a}{\sqrt{2}}\).

б) Найдем площадь маленького квадрата: Площадь большого квадрата: \(S_{большого} = a^2\) Площадь маленького квадрата: \[ S_{маленького} = \left(\frac{a}{\sqrt{2}}\right)^2 = \frac{a^2}{2} \]

Теперь, чтобы найти, сколько процентов составляет площадь маленького квадрата от площади большого квадрата: \[ \text{Процент} = \left(\frac{S_{маленького}}{S_{большого}}\right) \times 100 = \left(\frac{a^2/2}{a^2}\right) \times 100 = 50\% \]

Таким образом, площадь маленького квадрата составляет 50% от площади большого квадрата.