Найдите промежутки возрастания убывания и экстремумы функции y=-x³+x²+8x

Чтобы найти промежутки возрастания и убывания функции \( y = -x^3 + x^2 + 8x \), а также её экстремумы, мы сначала найдем производную функции.

1. Найдем производную функции:

\[ y' = \frac{d}{dx}(-x^3 + x^2 + 8x) = -3x^2 + 2x + 8 \]

2. Найдем критические точки. Для этого приравняем производную к нулю:

\[ -3x^2 + 2x + 8 = 0 \]

Умножим уравнение на -1 для удобства:

\[ 3x^2 - 2x - 8 = 0 \]

Теперь используем формулу квадратного уравнения \( x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \), где \( a = 3, b = -2, c = -8 \):

\[ x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-8)}}{2 \cdot 3} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 96}}{6} = \frac{2 \pm \sqrt{100}}{6} = \frac{2 \pm 10}{6} \]

Таким образом, получаем два корня:

\[ x_1 = \frac{12}{6} = 2, \quad x_2 = \frac{-8}{6} = -\frac{4}{3} \]

3. Определим знак производной на интервалах, разделенных найденными критическими точками \( x = -\frac{4}{3} \) и \( x = 2 \):

• Интервал \( (-\infty, -\frac{4}{3}) \)
• Интервал \( (-\frac{4}{3}, 2) \)
• Интервал \( (2, +\infty) \)

Проверим знак производной на каждом из интервалов:

• Для точки \( x = -2 \) (в интервале \( (-\infty, -\frac{4}{3}) \)):

  \[ y'(-2) = -3(-2)^2 + 2(-2) + 8 = -12 - 4 + 8 = -8 < 0 \quad \text{(функция убывает)} \]

• Для точки \( x = 0 \) (в интервале \( (-\frac{4}{3}, 2) \)):

  \[ y'(0) = -3(0)^2 + 2(0) + 8 = 8 > 0 \quad \text{(функция возрастает)} \]

• Для точки \( x = 3 \) (в интервале \( (2, +\infty) \)):

  \[ y'(3) = -3(3)^2 + 2(3) + 8 = -27 + 6 + 8 = -13 < 0 \quad \text{(функция убывает)} \]

4. Соберем все данные:

• Функция убывает на интервале \( (-\infty, -\frac{4}{3}) \) и на интервале \( (2, +\infty) \).
• Функция возрастает на интервале \( (-\frac{4}{3}, 2) \).

5. Определим экстремумы:

• В точке \( x = -\frac{4}{3} \) находится минимум (переход от убывания к возрастанию).
• В точке \( x = 2 \) находится максимум (переход от возрастания к убыванию).

Таким образом, ответы на ваш вопрос:

• Промежутки возрастания: \( (-\frac{4}{3}, 2) \)
• Промежутки убывания: \( (-\infty, -\frac{4}{3}) \) и \( (2, +\infty) \)
• Экстремумы: минимум в \( x = -\frac{4}{3} \) и максимум в \( x = 2 \).