В прямоугольном треугольнике ABC с гипотенузой АВ =8√58 известен tg A =3/7.Найдите АС
В прямоугольном треугольнике ABC с гипотенузой AB = 8√58 и известным значением tg A = 3/7, мы можем найти длину стороны AC, используя тригонометрические соотношения и свойства треугольника.
Поскольку треугольник ABC прямоугольный с углом A, можем воспользоваться определением тангенса. Мы знаем, что:
\[ \tan A = \frac{\text{противоположная сторона}}{\text{прилежащая сторона}} = \frac{BC}{AC} \]
Подставляем известное значение тангенса:
\[ \frac{BC}{AC} = \frac{3}{7} \]
Это можно переписать как:
\[ BC = \frac{3}{7} AC \]
В треугольнике ABC применим теорему Пифагора:
\[ AB^2 = AC^2 + BC^2 \]
Подставляем известные значения и выражение для BC:
\[ (8\sqrt{58})^2 = AC^2 + \left(\frac{3}{7} AC\right)^2 \]
Вычисляем AB²:
\[ AB^2 = 64 \cdot 58 = 3712 \]
Теперь подставим это значение в уравнение:
\[ 3712 = AC^2 + \frac{9}{49} AC^2 \]
Приведем подобные слагаемые:
\[ 3712 = AC^2 \left(1 + \frac{9}{49}\right) \]
Приведем к общему знаменателю:
\[ 1 + \frac{9}{49} = \frac{49}{49} + \frac{9}{49} = \frac{58}{49} \]
Таким образом, уравнение становится:
\[ 3712 = AC^2 \cdot \frac{58}{49} \]
Умножим обе стороны на \(\frac{49}{58}\):
\[ AC^2 = 3712 \cdot \frac{49}{58} \]
Выполним умножение:
\[ AC^2 = \frac{3712 \cdot 49}{58} \]
Чтобы упростить, сначала найдем \(3712 \div 58 = 64\), и тогда:
\[ AC^2 = 64 \cdot 49 = 3136 \]
Следовательно:
\[ AC = \sqrt{3136} = 56 \]
Таким образом, длина стороны AC равна 56.
