(x+9/x-9 - x-9/x+9) : 18x^2/81-x^2

Чтобы решить данное выражение, давайте поэтапно упростим его.

Выражение выглядит следующим образом: \[ \frac{x+9}{x-9} - \frac{x-9}{x+9} \]

Чтобы выполнить вычитание дробей, нужно сначала найти общий знаменатель. Общий знаменатель для дробей \((x-9)\) и \((x+9)\) будет равен \((x-9)(x+9)\).

Теперь преобразуем каждую дробь: \[ \frac{(x+9)^2 - (x-9)^2}{(x-9)(x+9)} \]

Используем формулу разности квадратов: \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\). Здесь \(a = (x+9)\) и \(b = (x-9)\).

Вычислим: \[ (x+9) - (x-9) = 18 \] \[ (x+9) + (x-9) = 2x \]

Следовательно, у нас получится: \[ \frac{18 \cdot 2x}{(x-9)(x+9)} = \frac{36x}{(x-9)(x+9)} \]

Теперь у нас есть основное выражение. Теперь нужно разделить это на \(\frac{18x^2}{81 - x^2}\).

Рассмотрим вторую часть: \[ \frac{18x^2}{81 - x^2} = \frac{18x^2}{(9+x)(9-x)} \]

Таким образом, мы можем записать весь дробный деление: \[ \frac{36x}{(x-9)(x+9)} \div \frac{18x^2}{(9+x)(9-x)} \]

После замены деления умножением на обратную дробь, получаем: \[ \frac{36x}{(x-9)(x+9)} \cdot \frac{(9+x)(9-x)}{18x^2} \]

Упрощая это выражение, мы видим, что \(36\) и \(18\) сокращаются, а также \(x\) в числе и в знаменателе: \[ \frac{2(9-x)}{(x-9)(x+9)} \]

Таким образом, окончательно имеем: \[ \frac{2(9-x)}{(x-9)(x+9)} \]

Это и будет упрощенное выражение. Если есть дальнейшие вопросы или что-то непонятно, не стесняйтесь задавать!