Натуральные числа a a и b b таковы, что a + b = 2024 a+b=2024. Найдите разность наибольшего и наименьшего возможного значения выражения 1 a + 1 b a 1 + b 1 . Ответ дайте в виде несократимой дроби, без пробелов, разделитель /. Например, 1/3
Дано уравнение \( a + b = 2024 \).
Мы хотим найти разность наибольшего и наименьшего значений выражения
\[ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{a + b}{ab} = \frac{2024}{ab}. \]
Чтобы максимизировать \( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \), необходимо минимизировать произведение \( ab \).
Из условия \( a + b = 2024 \) следует, что можно выразить \( b \) через \( a \):
\[ b = 2024 - a. \]
Таким образом, произведение \( ab \) можно записать как:
\[ ab = a(2024 - a) = 2024a - a^2. \]
Это выражение представляет собой параболу, которая принимает максимальное значение в точке её вершины. Вершина параболы находится по формуле \( a = -\frac{b}{2a} \). В данном случае \( a = -1 \), \( b = 2024 \):
\[ a_{max} = \frac{2024}{2} = 1012. \]
Подставляя значение \( a = 1012 \):
\[ b = 2024 - 1012 = 1012. \]
Таким образом, \( a = 1012 \) и \( b = 1012 \).
Теперь вычислим \( ab \):
\[ ab = 1012 \times 1012 = 1024144. \]
Теперь найдем значение \( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \):
\[ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{2024}{ab} = \frac{2024}{1024144} = \frac{1}{505}. \]
Теперь максимальное значение \( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \) достигнуто при \( a = 1012 \) и \( b = 1012 \).
Чтобы минимизировать \( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \), необходимо максимизировать \( ab \). Для этого \( a \) и \( b \) должны быть как можно более разными, поэтому мы будем брать \( a = 1 \) и \( b = 2023 \):
\[ ab = 1 \times 2023 = 2023. \]
Теперь найдем значение \( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \):
\[ \frac{1}{1} + \frac{1}{2023} = 1 + \frac{1}{2023} = \frac{2024}{2023}. \]
Теперь найдем разность максимального значения и минимального значения выражения:
\[ \frac{2024}{2023} - \frac{1}{505}. \]
Для удобства найдем общий знаменатель:
\[ \frac{2024 \times 505}{2023 \times 505} - \frac{2023}{2023 \times 505} = \frac{2024 \times 505 - 2023}{2023 \times 505} = \frac{1022120 - 2023}{2023 \times 505} = \frac{1020097}{2023 \times 505}. \]
Теперь необходимо проверить, является ли дробь несократимой, для этого найдем НОД числителя и знаменателя.
Число 1020097 является простым, поэтому мы можем сказать, что дробь несократима.
Таким образом, ответ в виде несократимой дроби:
\[ \frac{1020097}{1021515}. \]
