Выберите все неравенства, которые верны для достаточно больших n 100n^4+20n>0,1n^5−30n^3 0,9^n+0,8^n>100 n⋅1,1^n>100n+1 3n^2−10>√2n^3+1

Давайте рассмотрим каждое из неравенств по очереди, чтобы понять, для каких значений \( n \) они верны при достаточно больших \( n \).

1. Первое неравенство: \( 100n^4 + 20n > 0.1n^5 - 30n^3 \)

   Упрощаем это неравенство: \[ 100n^4 + 20n > 0.1n^5 - 30n^3 \quad \Rightarrow \quad -0.1n^5 + 130n^4 + 20n > 0 \] При достаточно больших \( n \) старший член (в \( n^5 \)) будет определять знак, поэтому это неравенство не будет выполняться для больших \( n \).

   Ответ: Неравенство не верно.

2. Второе неравенство: \( 0.9^n + 0.8^n > 100 \)

   Итак, \( 0.9^n \) и \( 0.8^n \) оба стремятся к нулю, когда \( n \) увеличивается. Следовательно, сумма будет также стремиться к нулю, что не может быть больше 100 при больших \( n \).

   Ответ: Неравенство не верно.

3. Третье неравенство: \( n \cdot 1.1^n > 100n + 1 \)

   Анализируем это неравенство. С левой стороны \( n \cdot 1.1^n \) растёт экспоненциально, тогда как с правой стороны функция линейная. При достаточно больших \( n \) экспоненциальный рост \( 1.1^n \) превысит линейные выражения.

   Ответ: Неравенство верно.

4. Четвёртое неравенство: \( 3n^2 - 10 > \sqrt{2n^3 + 1} \)

   Рассмотрим поведение при больших \( n \): Сравниваем: \[ 3n^2 - 10 \quad \text{и} \quad \sqrt{2n^3 + 1} \approx \sqrt{2} n^{3/2} \text{ (при больших n)} \] При достаточно больших \( n \), члены \( 3n^2 \) и \( \sqrt{2} n^{3/2} \) будут расти, но \( n^{3/2} \) будет расти быстрее, чем \( n^2 \).

   Ответ: Неравенство не верно.

Итог: Верно только третье неравенство \( n \cdot 1.1^n > 100n + 1 \).