2(х²+2)≥х(х+5)

Чтобы решить неравенство \(2(x^2 + 2) \geq x(x + 5)\), сначала упростим его.

1. Раскроем скобки: \[ 2(x^2 + 2) = 2x^2 + 4 \] \[ x(x + 5) = x^2 + 5x \]

2. Теперь подставим эти выражения в исходное неравенство: \[ 2x^2 + 4 \geq x^2 + 5x \]

3. Переносим все слагаемые влево, получаем: \[ 2x^2 + 4 - x^2 - 5x \geq 0 \] \[ x^2 - 5x + 4 \geq 0 \]

4. Теперь найдем корни квадратного уравнения \(x^2 - 5x + 4 = 0\) с помощью дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 - 16 = 9 \] Корни уравнения: \[ x_1 = \frac{5 + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{5 + 3}{2} = 4 \] \[ x_2 = \frac{5 - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{5 - 3}{2} = 1 \]

5. Корни уравнения \(x = 1\) и \(x = 4\). Теперь необходимо определить знаки выражения \(x^2 - 5x + 4\) на интервалах, которые задаются этими корнями.

6. Рассматриваем интервалы:

   • \( (-\infty, 1) \)
   • \( (1, 4) \)
   • \( (4, +\infty) \)

7. Проверяем знак в каждом интервале:

   • Для \(x < 1\) (например, \(x = 0\)): \(0^2 - 5 \cdot 0 + 4 = 4\) (положительный)
   • Для \(1 < x < 4\) (например, \(x = 2\)): \(2^2 - 5 \cdot 2 + 4 = 4 - 10 + 4 = -2\) (отрицательный)
   • Для \(x > 4\) (например, \(x = 5\)): \(5^2 - 5 \cdot 5 + 4 = 25 - 25 + 4 = 4\) (положительный)

8. Теперь мы можем описать знак неравенства: \(x^2 - 5x + 4 \geq 0\) выполняется для интервалов: \[ (-\infty, 1] \cup [4, +\infty) \]

Таким образом, решением неравенства \(2(x^2 + 2) \geq x(x + 5)\) являются \(x \leq 1\) или \(x \geq 4\).