вершины четырёхугольника ABCD имеют координаты А (X1; y1) B (X2;y2) C ( X3; y4) D (X4; y4) докажите что этот четырёхугольник является параллелограммом тогда и только тогда когда…

Чтобы доказать, что четырёхугольник ABCD является параллелограммом тогда и только тогда, когда выполняются условия \(X_1 + X_3 = X_2 + X_4\) и \(Y_1 + Y_3 = Y_2 + Y_4\), мы рассмотрим свойства параллелограмма и координаты его вершин.

Параллелограмм — это четырехугольник, у которого противоположные стороны равны и параллельны. Если у нас есть координаты вершин:

• \(A(X_1; Y_1)\)
• \(B(X_2; Y_2)\)
• \(C(X_3; Y_3)\)
• \(D(X_4; Y_4)\)

Мы можем использовать векторный подход. Вектора сторон параллелограмма можно записать следующим образом:

• Вектор \(AB = (X_2 - X_1; Y_2 - Y_1)\)
• Вектор \(CD = (X_4 - X_3; Y_4 - Y_3)\)
• Вектор \(BC = (X_3 - X_2; Y_3 - Y_2)\)
• Вектор \(AD = (X_4 - X_1; Y_4 - Y_1)\)

Для ABCD быть параллелограммом, должно выполняться следующее:

1. Векторы \(AB\) и \(CD\) должны быть равны: \[ X_2 - X_1 = X_4 - X_3 \quad \text{и} \quad Y_2 - Y_1 = Y_4 - Y_3 \] Это можно записать как: \[ X_1 + X_3 = X_2 + X_4 \quad \text{и} \quad Y_1 + Y_3 = Y_2 + Y_4 \]

2. Векторы \(BC\) и \(AD\) также должны быть равны: \[ X_3 - X_2 = X_4 - X_1 \quad \text{и} \quad Y_3 - Y_2 = Y_4 - Y_1 \] Эти условия также приводят к тем же равенствам.

Таким образом, условие \(X_1 + X_3 = X_2 + X_4\) и \(Y_1 + Y_3 = Y_2 + Y_4\) является необходимым и достаточным для того, чтобы четырёхугольник ABCD являлся параллелограммом. Мы обосновали это через равенство его противоположных сторон.

Следовательно, можно утверждать, что четырёхугольник ABCD будет параллелограммом тогда и только тогда, когда \(X_1 + X_3 = X_2 + X_4\) и \(Y_1 + Y_3 = Y_2 + Y_4\).