Дано натуральное k . Докажите, что, начиная с некоторого n , будет выполнено неравенство 1,001n>1000n^k .

Чтобы доказать неравенство \( 1,001^n > 1000n^k \) для достаточного большого \( n \), мы воспользуемся методом предельного перехода и свойствами экспоненциальной функции.

1. Анализ неравенства: Нам нужно показать, что при достаточно большом \( n \) левая часть неравенства, которая является экспонентой, станет больше правой стороны, представляющей собой полиномиальную функцию.

2. Преобразование неравенства: Мы можем переписать неравенство как: \[ \frac{1,001^n}{n^k} > 1000 \]

3. Использование предельного перехода: Рассмотрим предел: \[ \lim_{n \to \infty} \frac{1,001^n}{n^k} \] Поскольку \( 1,001^n \) — это экспоненциальная функция, а \( n^k \) — полиномиальная, по свойствам роста этих функций мы знаем, что экспоненциальная функция растет быстрее, чем полиномиальная. Таким образом, предел будет равен бесконечности: \[ \lim_{n \to \infty} \frac{1,001^n}{n^k} = \infty \]

4. Вывод: Это означает, что для sufficiently large \( n \) существует такое \( n_0 \), что для всех \( n > n_0 \) выполняется: \[ \frac{1,001^n}{n^k} > 1000 \] Отсюда следует, что \( 1,001^n > 1000n^k \).

Таким образом, мы доказали, что начиная с некоторого \( n \), неравенство \( 1,001^n > 1000n^k \) будет выполняться.